Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
о! о!
В этой терминологии элемент объема dV, определенный, согласно (13.42), является дуальным скаляром.
Таким образом, Эйнштейн, введя (13.31), перешел к элементу физического объема. Приведенные соотношения детализируют этот переход в рамках общего тетрадного представления ОТО.
§ 14. (З-Ы)-РАСЩЕПЛЕНИЕ.
ОБОБЩЕНИЕ НА ИЗОТРОПНЫЙ БАЗИС
14.1. Хроно- и хоро*)- величины. Сопоставление хоро-вели-чин классической физики, СТО и ОТО. В классической физике время и пространственные величины (хоро-величины) измеряются раздельно. Хоро-величины имеют два вида компонент— тензорные криволинейные и физические. Оба вида компонент относятся к одному и тому же абсолютному 3-про-странству. Так, например, тензорные компоненты Ar, содержащиеся в выражении (12.14), или Eu E2, E3l входящие в (12.3), отнесены к тому же 3-пространству, что и компоненты Ла, Afi, Av в соотношении (12.14) или Eut Ev, Ew в уравнении (12.13), в частности ErfE ф, Ez в уравнении (12.12).
СТО сохранила раздельность измерения времени и хоро-величин, но потребовала относительности этого разделения. В результате появилось множество хроно-величин, имеющих размерность времени, таких, как плотность заряда и др. Что касается хоро-величин, то в СТО возможно введение следующих трех видов их компонент: 1) мировые (криволинейные) компоненты, отнесенные к 3-подпространству мира Минковско-го (в виде искривленной 3-гиперповерхности), не совпадающему с собственным пространством какой-либо инерциальной системы отсчета; 2) физические компоненты хоро-величин, отнесенные к трехмерной криволинейной системе координат, установленной в некотором собственном пространстве инерциальной системы отсчета; 3) мировые компоненты (криволинейные компоненты), отнесенные к трехмерной криволинейной системе координат, установленной в том же собственном пространстве, что и физические компоненты. Таким образом, 3-пространство для 2-го и 3-го видов компонент является общим и не совпадает с 3-пространством 1-го вида компонент. Поэтому хоро-компоненты 3-го вида (отметим их звездочкой) в ортогональной системе координат определяются соотношениями
*) По-гречески xpovoC — время, XcoPa- место.
146 Aa = VgaaAay Aa = VgaaAa. (14.1)
Однако для 1-го вида хоро-компонент СТО имеем, вообще говоря,
Aa = HakAk ф Aa, (14.2)
поскольку в силу произвольности (3+1)-расщепления А^ФО.
*
Обычно компоненты, такие, как Aa и Aat в СТО не различают, рассматривая их в одном множестве тензорных компонент.
Приняв в ОТО эйнштейново определение «естественно-измеряемых величин» [1, I, с. 355], тетрадная формулировка ОТО тем самым принимает и раздельность измерения в ОТО хоро- и хроно-компонент величин, например компонент
Л( о) = h^)A^y Aa = HliaA11. (14.3)
Возможно разделение на части и мировых компонент, например A^ на A0 и Aa и разделение 4-суммирования в инварианте, например AixA^=Ai0A0+AaAa. В члене AaAa усеченное суммирование только по пространственным индексам. Такого рода разделение не выделяет, вообще говоря, величин для измерения. Ни Л°, ни Aa не являются хроно-, соответственно хоро-из-меряемыми величинами.
14.2. Специальные (ограниченные) мировые компоненты в ОТО. Метод (3+1)-рассечения суммации по лоренцевым индексам. Введение криволинейной системы координат требует конечной или бесконечной области. В ОТО можно выделить лишь бесконечно малые элементы 3-пространства Минков-
ского. Поэтому перенос из СТО в ОТО компонент 3-го вида,
*
таких, как Aaj невозможен. Однако можно ввести некоторый их обобщенный аналог, сочетая выделение элемента собственного пространства СТО с выделением из четырехмерной координатной криволинейной системы (Xix) в ОТО ее трехмерной части (ха). Действительно, рассекая суммацию по лоренцевым (локальным) индексам, например, в случае вектора
Q^ = AIifcQft = ftu(0)Q(0) + HliaQay {НА)
можем ввести раздельно 4-компоненты вида
Q% = h»( 0)Q(0), Q» = ^aQay (14.5)
где 4-компоненты Qja физических хоро-компонент Qa отмечены звездочкой сверху, а физической хроно-компоненты Q(0)—снизу. В некоторых простых случаях может оказаться, что
Qa*= 0, $ = 0. Тогда (14.5) сводятся к соотношениям
Q°* = /*°<o)Q(0)> (14.6)
Qa = HaaQa. (14.7)
В этих частных случаях особенно заметно сходство уравнений (14.1) и (14.7). Различие сводится к тому, что Ha=^gaa в соотношениях (14.1) зависит от выбора трехмерной ортогональной криволинейной системы в плоском пространстве, тогда как haa в формуле (14.7) подчинены эйнштейновым уравнениям тяготения и произвольным калибровочным условиям. В отдельных случаях, однако, может оказаться, что соответствующие компоненты haa и ha внешне совпадают, например
h%) = r=h3. Тогда различие состоит в трактовке координат
*
ОТО и координат плоского пространства. Добавим, что Aa и *
Qa в соотношениях (14.1) и (14.7) подчинены соответственно
уравнениям классической физики и уравнениям ОТО.
*
Таким образом, введение компонент вида Qa начинается
с (3+1)-расщепления в смысле СТО (в ОТО это специальное,
*
