Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, наконец, что четверка векторов в обоих разветвлениях тетрадного представления вводится в общем случае. При решении многих частных задач введение всех четырех векторов излишне. Общий тетрадный метод охватывает все случаи где п — число векторов единичных или нулевых.
158 На это, в частности, обращается внимание в книге [23, с. 375]: «...Изложенные построения, по существу, никак не связаны с четырехмерностью метрики». Это, очевидно, следствие того, что сам тетрадный метод ОТО является частным случаем общего метода, «я-байнов» при п произвольном. На случаях п<4 в ОТО специально остановимся далее, прежде всего в п. 16.1. Использование только части векторов лоренцева базиса, например только хроно-монады, может оказаться полезным не только при рассмотрении закономерностей в рамках соответствующих подпространств, но и при некоторых общих построениях в 4-пространстве ОТО.
§ 15. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕТРАДНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОТО (ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИЗА)
15.1. Неголономность квазикоординат. Изложим лишь самые необходимые элементы тензорного анализа в лоренцевом базисе, предполагая, что математический аппарат метрической формулировки ОТО известен. Более детальное рассмотрение аппарата тетрадной формулировки ОТО имеется в книгах [28, 35, 494, 531].
Коэффициенты постоянных лоренцевых преобразований, вводимых в пространстве Минковского, могут быть представлены в виде частных производных: Lhrn = dXh'JdXn = const, где Xh\ Xn — глобальные, голономные псевдодекартовы координаты. Поэтому
d dXk' = д[г Lkfn] dXrdXn = О, [12]
(15.1)
ddXk' =дг [Lk'mdXm)dX\ 12 2 1
что и дает возможность устанавливать конечные значения го-лономных координат Xk однозначно, вне зависимости от пути в данную точку. Наложим на систему (Xk) произвольным образом поле локальных псевдодекартовых систем dxtm\ Тогда
d dx{h) = d[mLn{h) dXm dXn Ф О, [12] 12 (10.
L(h)n=?dx(k)/dXn.
В результате зависимости этого преобразования от точки дифференциалы псевдодекартовых координат, вообще говоря, неполные. Представим (15.2) в виде
ddx(h) = L«(p) L\q) d[nLr{h) dxip) dx(q).
[12] 12 V10-
159 Коэффициент в этом соотношении
&k\p)(q) = Lr(4)L\P)d[rLnlk) = L,(h) dl(p)L\m (15.4)
по определению является объектом неголономности. Найдем закон его преобразования, введя еще одну локальную неголо-номную систему координат на базе той же самой голономной псевдодекартовой системы координат:
Q{h)\n<)(ry=L\ry L^nydiiLiIky. (15.5)
Чтобы найти связь Q(h)'(п)'(п' с Q{h\n)(r)y учтем, что L{k)<(n) = = LrikyLrinK Тогда
o(fc)' _ т W т (я)т , (P)OisK ,
" (n)'(r)'—L (S)Hr)' Hn)' " (p)(q) -
-Ь{к)'рд1(гуЦпу1{р\ (15.6)
т. е. объект неголономности — более сложный геометрический объект, чем тензор.
Введем неголономные псевдодекартовы координатные системы (dxh) на базе криволинейной голономной, заменив L\n) на обобщенные коэффициенты Ламе (28, 35, 531—533] *>:
ddxk^dpih&dx^dxv. /1К -ч
12 2 1 (!о./;
Тогда объект неголономности примет следующий вид:
d dxk = дги hJ dx»dxy == Q\vdx»dxy,
[12] 12 12 (15.8)
Qftrs 1 dllx hyf = hvk d[r /IvS]. (15.9)
Переход от одной неголономной координатной системы к другой неголономной, если они введены на базе одной и той же голономной криволинейной системы координат, происходит также посредством обобщенного лоренцева преобразования, но уже зависящего от криволинейных голономных координат:
dxk' - Lh' п dxn = A1*' dx*\ Kk' = LftrnV- (15.10)
При этом объект неголономности преобразуется по закону (15.6), в который входит зависимость Lhrn не от Xm9 но от х\ Изменение опорной криволинейной системы, поскольку
d[a'/V]X = 0, = (15.11)
*) В дальнейшем будем помещать в скобки лишь численные значения латинских индексов.
160 сохраняет объект неголономностн (15.9) неизменным. Соотношения (15.7)-(15.10) имеют место как в СТО, так и в ОТО.
Эйнштейн, говоря о локальных псевдодекартовых координатах, подчеркивал, что «...они не являются полными дифференциалами» [1, I, с. 355]. На неполноту дифференциала собственного времени в СТО обращал внимание и Минковский [35, с. 11].
Таким образом, математический аппарат тетрадной формулировки ОТО базируется на общих математических построениях. Он уже имеется в основополагающей монографии Риччи [534]. С ним можно познакомиться по многим курсам тензорного анализа [535—540]. Величины, зависящие от пути, использовались в работе [541]. Вопросы интегрирования в неголономных координатных системах, в частности, рассматривал Вагнер [542].
15.2. Коэффициенты вращения Риччи. Перейдем к сравнению векторов лоренцева базиса в двух бесконечно близких точках, т. е. рассмотрим их параллельный перенос. Переход в СТО от голономной к неголономной псевдодекартовой системе координат приводит к коэффициентам связности, отличным от нуля. Действительно
Г(1\т)(р) = У(1)(т)(р) = Lh{l) Ln(m) Lr(P) ( 1 + Lr(l) д(Р) L\m) =
\nr\
= Lril) L\p)dBL\m) , T|fcn ^const. (15.12)
Это — частный случай коэффициентов вращения Риччи [531, 534—538]. Заменим теперь псевдодекартову голономную на криволинейную голономную систему координат с коэффициентами
