Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Иваницкая О.С. -> "Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения" -> 62

Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.

Иваницкая О.С. Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения — Наука и техника, 1979. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): lorencbazisigrav1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 126 >> Следующая


СВЯЗНОСТИ rjiv

Преобразуя rjtv в СТО или ОТО к неголономной псевдодекартовой системе, находим

ykmn = Kh h\h\T^ + KkdnhGm = VfcxIiVxAliW. (15.13) Выделим симметричную часть

У(Кт)п = -у h%n [Щ (Kk^m) + (15.14)

Поскольку В СТО и ОТО ВЫПОЛНЯЮТСЯ условия VA,T]fcm = О, Vxg^x = то У(кт)п = о. Следовательно,

Уктп = -Vmftn, (15.15)

т. е. в неголономной системе псевдодекартовых координат коэффициенты связности по первым двум индексам антисиммет-

11. Зак. 3

161 ричны. Они являются коэффициентами вращения Риччи. Соответствующий им параллельный перенос сопровождается бесконечно малыми лоренцевыми поворотами базисных векторов ел. Матрица этого лоренцева преобразования имеет вид Сokn^yknKdx^ [35, § 12]. Очевидно,

УГ'<>'\ = Lr^ Ls^mykmX + Lr<nd%Ls>n. (15.16)

Умножая (15.13) на hon и суммируя, получим

ykma = h<snykmn ~ i^Va^m« Запишем преобразование, обратное (15.13):

= h\hvnykn% + AVxAv*. (15.17)

Введем криволинейные компоненты коэффициентов вращения Риччи:

V^vx - h\hvmhKymn, у^ = - T^x. (15.18) Таким образом,

= YiaVX + * 7%х + FV (15.19)

где A*\dxV — коэффициенты связности абсолютного па-

раллелизма [1, И, с. 223; 531, 539, 540]. Поскольку в СТО и ОТО в силу римановости геометрии Ta^v] =0, из (15.13) и (15.9) следует

у\тпї = Kkd[nham\ = - akmn, (15.20)

&kmn = -у ('Уктп — Укпт)• (15.21)

Из (15.21) вытекает выражение

Уrnpq — ^mpq 4" ^pmq + Qqmpy (15.22)

непосредственно показывающее, что коэффициенты вращения Риччи отличны от нуля лишь в неголономных системах координат.

15.3. Трансформационные свойства коэффициентов вращения Риччи относительно лоренцевой подгруппы. Следуя работе [543], остановимся детальнее на преобразовании уктп относительно локальных преобразований Лоренца. В общем случае:

у« Vc = La9hLb-mLcYnn + La\dc-Lb'\ (15.23)

Y«V<oу = La\Lb^L{oynykmn+ La\dioy Lb^\ (15.24)

yi0)\.b.=L{0)\La>mLb>nyknn+L{0)\db'La'\ (15.25)

162 V(0),aW =L(0)'hLa',nL{oynykmn + Lw'kd{oyLa'k. (15.26)

Отсюда видно, что компоненты коэффициентов вращения Риччи 7<0)аь и Y(0)a(0) являются тензорами относительно подгруппы 3-пространственных поворотов лоренцевой триады. Действительно, из (15.26) следует, что при Lioya = 0, Lioyw= 1 закон преобразования упрощается:

J0)' г aJ

у а'Ъ' = La' Lb' У ab,

(15.27)

J0)' ї flJ0)

У а'( 0)' = La' у а(0).

Поэтому в рамках заданной системы отсчета (в смысле пункта 13.9) преобразованиями триады эти компоненты нельзя ни создать, ни уничтожить, если первоначально они отличались от нуля. Их физическая интерпретация подсказывается следующими соображениями.

Отнесем пространственные уравнения геодезической к лоренцеву базису

+ Уакп*к хп = *e + Ya(O)(O) (*<°>)2+ Г(0)**(0> Xb +

+yab(0)XbxW+yabcxbxc = 0.

Нерелятивистский предел этих уравнений подсказывает, что член Yfl(O)(O) следует отождествить C ускорением, а член у%)ь'хЬ— с силами инерции [543]. В нерелятивистской механике сплошной среды при наличии поля скоростей Uk вводят ускорение dub/dt, тензор скоростей деформации д(аиь)У тензор скоростей вращения д[аЩ (см., например, [544]). Естественно обобщить, переходя к СТО и ОТО, эти понятия посредством соотнощений

Ab = Dub/dx^ = dub/dx^ — ykbnukua,

Dab = V(^fr) = д{а Ub) — yk(ba) Uky (15.28)

\ъ = у [a Ub] = д[а Ub] — yk[ba] Uk.

При ykmn = О эти величины переходят в указанные нереляги-вистские. Для частиц, сопутствующих системе отсчета, а следовательно, и для частиц, ее образующих (тел отсчета), имеем dxa= 0, uk=b\о). В этом случае [543]

Аъ= Yfr(O)(O), Dab = Y(O)(Cfr), Aab = Y(0)[afr].

Следовательно, тензорные относительно пространственной лоренцевой подгруппы компоненты коэффициентов вращения Риччи можно рассматривать как динамические характеристики систем отсчета, как меру их неинерциальности. Продолжим их рассмотрение в главе V.

її*

іба 15.4. Кривизна и кручение в неголономных псевДодекарто-вых координатах. Образуем из Yfemn величину той же конструкции, что R11vka из rj;v

г*1тп = 2д1ту*т + 2ykqitny^iln]. (15.29)

Подставив в формулу (15.29) соотношения (15.13) и (15.15) после длительных преобразований, не требующих дополнительных условий, получим

rhmn - V1 h\ h\ V R\va - 2yblqQ?mn. (15.30)

Таким образом, Tktmn не является тензором, и если криволинейная система установлена в плоском пространстве, то

rMmn = — ZyklqQ Ятп Ф 0- (15.31)

Поэтому с переходом к неголономным псевдодекартовым координатам естественно принять определение кривизны, сохраняющее ее тензором:

Qk =U khP и» Uv J>° = rV nrs - 'frCF л Г 'Ь S PIIV

= Wrti99Rbnuv = Tknrs + 2yknq Q«rsi (15.32)

где

Rkn[Xv^hkh\R\^ (15.33)

В СТО Rknm и Rknrs в отличие от Tknr8 равны нулю. В ОТО они являются конструктивным элементом эйнштейновых уравнений тяготения в тетрадном представлении.

Заменяя в равенстве (15.33) коэффициенты IVv, входящие в /?apinv, суммой двух членов, согласно выражению (15.17), после преобразований, не требующих никаких дополнительных условий, находим

Rknixv = 2dilxykinlv} + 2 YWhv]. (15.34)
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 126 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed