Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
локальное расщепление). Индексы а или |л в Q^i относятся к произвольной системе координат ОТО. Это мировые индексы. Такого рода компоненты в отличие от мировых компонент Qa, Qv и в отличие от физических компонент будем называть специальными мировыми компонентами.
Очевидно, ни в смысле триадного метода Ламе, ни с точки зрения эйнштейнова определения «естественно-измеряемых величин» специальные мировые компоненты, вообще говоря, не являются образами в теории измеряемых величин. В простых случаях, как, например, в выражении (14.7), они весьма близкие аналоги криволинейных компонент (т. е. не измеряемых величин в смысле метрологии и классической теории *
Ламе). Компонента Ea в ОТО имеет классический аналог в уравнении (12.3) —криволинейные компоненты Eh E2l E3> но не физические Eu, EVf Ew. В пределе, когда искривленное пространство ОТО переходит в плоское, именно специальные мировые компоненты становятся криволинейными компонентами классической теории.
В частности, некоторые из четырех векторов е^ во всем 4-пространстве, или даже все четыре вектора е^ в некоторых точках, могут в результате подбора координатной системы совпасть с соответствующими векторами лоренцева базиса. Пусть, например, е0=е(0), но еафеа (полугеодезическая система координат). В этом случае А=Л^е^=Л(°)е(о)+Лаеа и компо-
148 нента Л°=Л(°) в отличие от АафАа является измеряемой величиной. Однако в ОТО в силу неевклидовости геометрии в принципе невозможно полностью передать мировым компонентам роль измеряемых величин. Это можно сделать только частично, тогда как лоренцевы компоненты полностью берут на себя роль измеряемых без нарушения принципа общей ковариантности.
Таким образом, специальные мировые компоненты не являются результатом разложения физических величин, например вектора А по векторам лоренцева базиса Однако их введение весьма полезно в том смысле, что, будучи связанными с хроно- (например, с Q(0)) или с хоро- (например, с Qa) компонентами, происходя от них, от их раздельного введения, специальные компоненты в то же время связаны с криволинейной системой координат ОТО. В конкретных случаях последняя выбирается не как-нибудь, а целесообразным образом, чтобы отразить симметрию задачи и т. д. Этим рационально воспользоваться. Сказанное относится к компонентам любого ранга, но, начиная со второго ранга, вообще говоря, появляются смешанные компоненты — частично мировые специальные, частично физические, аналогично тому, как это имело место в выражении (13.11). Произведем, например, рассечение суммации по локальным индексам в мировых компонентах тензора 2-го ранга:
QiXV = h\h\Qkn = ^(o)/iv(o)Q(0)(0) + h%}h\Q^a +
+ h»bh\0)QW + h\h\Q°b. (14.8
В результате можно ввести специальные мировые компоненты
Qw = h\h\Qab, (14.9)
QSv = A^(o)Av(o)Q<0)(0>, (14.10)
QV(O) = AVeQ(O). Qtf= An(0)Q( 0)0. (14.11)
В некоторых случаях смешанных компонент не возникает.
Таким образом, специальные мировые компоненты могут быть найдены по соответствующим физическим компонентам и некоторой части обобщенных коэффициентов Ламе. Они —
части мировых компонент, выделенные при рассечении сум-
* *
мации по локальным индексам. Компоненты Q^ Q^v и т. д. содержат триаду еа в скрытом виде («спрятанная триада» [480]).
Для частного случая (при условиях Aoa=O) специальные мировые компоненты под названием «ограниченные 4-тензо-
149 ры» рассматриваются Мёллером [25]. Они ведут себя как тензоры и при более ограниченных группах координатных преобразований. На этом остановимся в § 21.
В отличие от мировых компонент специальные компоненты не являются инвариантами относительно 6-параметрических преобразований L(x) и зависят от выбора калибровочных условий, будучи специально отнесенными к тому или иному (3+1)-расщеплению. В частности,
(?' -AVQe' = h\Qk — №(0)'Q<°>' = = Q* + )Q(0) - LioykU°ynh\Q» Ф fa, (14.12)
т. е. рассечение суммации сопровождается рассечением 6-пара-
метрической группы Лоренца на ее подмножества, в том числе
*
на подгруппы. Очевидно, что Q^—инвариант относительно 3-па-раметрической подгруппы L(x) пространственных вращений. Относительно этой подгруппы Q*—скаляр.
Многие задачи ОТО решаются в рамках фиксированной системы отсчета. Тогда вопрос о трансформационных свойствах упрощается, так как поле задано и могут преобразовываться лишь хоро-величины. В этих задачах разумно упростить обозначения, отбросив на время индексы (0) (пока изучаются величины и соотношения между ними только в фиксированной (произвольно) системе отсчета). При этом стирается внешняя разница между некоторыми величинами,
вызванная их происхождением. Так, в соотношении (14.7)
*
3-вектор Qa происходит от компонент вектора Qfl. Компоненты Q0^0) в первом из соотношений (14.11) происходят от компонент тензора 2-го ранга. В упрощенных обозначениях
*Qv(0)l$v)Lh\Qa, (14.13)
что по форме совпадает с выражением (14.7) *>. Естественно, что и звездочка над знаком равенства, предупреждающая об упрощениях, для простоты обычно не пишется.
