Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
При обсуждении связи «между «локально» измеренными ... длинами ... и приращениями координат dxv ...» [1, I, с. 501] Эйнштейн в статье «Основы ОТО» фактически привлекает и пространственные коэффициенты Ламе, Vgu в частности (см. (13.2b)). Для перехода от тензорных компонент электромагнитного иоля к физическим компонентам вводятся соотношения Da=—VgooF0a,y #a? = Ygoo Fa^ (точнее физических по одному из индексов, временному) [23, с. 328]. Там же [23, с. 323] говорится: «Во избе-
138 жание недоразумений при сравнении с формулами, часто применяемыми для трехмерных векторных операций в ортогональных криволинейных координатах, ... укажем, что в этих формулах под компонентами вектора подразумеваются величины
!'^(=/? Vte А\ Vg^Ah. (13.19)
Использование условий касания вследствие своей простоты получило широкое распространение.
13.7. Две группы преобразований. Локальные (обобщенные) преобразования Лоренца в ОТО. Разыскание как общих решений системы (13.5) предполагает независимое введение локальных лоренцевых систем по отношению к глобальным криволинейным системам координат. На эту независимость Эйнштейн обращал внимание в своих «Основах ОТО»: «...Величины gОТ функции X0, которые уже не могут более зависеть от ориентации и состояния движения «местной» координатной системы» [1, I, с. 461]. Изменения ориентации «местных» систем подчинены СТО, т. е. являются преобразованиями Лоренца. Эйнштейн назвал их обобщенными преобразованиями Лоренца. Перечисляя в своей статье «Физические основы теории тяготения» 4 общих постулата, «... которые можно принять (но не обязательно все) в теории тяготения», в качестве третьего постулата Эйнштейн принял следующий:
«Справедливость теории относительности (в более узком смысле), т. е. системы уравнений должны быть ковариантны относительно линейных ортогональных подстановок (обобщенные преобразования Лоренца)». Далее Эйнштейн замечает: «По нашему мнению, безусловно необходимо придерживаться постулата 3, если только не будет оснований, принуждающих отказаться от него; как только мы отказываемся от этого постулата, разнообразие возможностей становится необозримым» [1, I, с. 275].
В 1928 г. Эйнштейн развивает мысль о двух видах преобразований ОТО — координатных и лоренцевых в связи с построением единой теории поля (на этом остановимся в следующем пункте). Работы Вейля, Фока, Иваненко по включению сгіинорного поля в ОТО акцентируют как тетрады, так и лоренцевы преобразования. В 1929 г. Фок писал [498]: «... =
= yZeiaikhai, CLik — transformation locale de Lorentz». В моно-i
графии [494] двум видам преобразований в ОТО отводится глава V «Тензорный анализ и мероопределение Ламе». В ней Румер замечает, что, полагая в основу мероопределение Ламе (тетрады), можем построить тензорный анализ как теорию одновременных ковариантов двух групп преобразований: группа общих преобразований координат х*' =X^r (х%):
139 V* =W;^'V = dxv'fdx*; Px>v = 6jf', (13.20)
группа ортогональных преобразований элементов матрицы Ламе, т. е. локальных (обобщенных) преобразований Лоренца L(x):
V' =Lhfn (x*)h». (13.21)
Таким образом, эйнштейновы уравнения тяготения в тетрадном представлении (13.8) ковариантны относительно двух групп преобразований, уравнения же в виде (13.9) лоренц-ковариантны. Будем для краткости обозначать локальное ло-ренцево преобразование символом L(x). Аналогично тому как координатные условия не должны быть общековариантны, так, очевидно, и калибровочные условия не должны быть ковариантны относительно общего 6-параметрического преобразования Лоренца (относительно подгрупп преобразований соответственно координатных и локальных лоренцевых ковариантность может иметь место).
Как видно из (13.5) и (13.21), метрический тензор ^v — инвариант относительно локальных лоренцевых преобразований
VVrn-H' = VV1IIfcn = inv. (13.22)
Из (13.21) и (13.8) ясно, что при фиксированных исходных тетрадах коэффициенты Lk'n(x%) становятся в подчинение эйнштейновым уравнениям тяготения, которые после подстановки соотношения (13.21) в равенство (13.8) из уравнений относительно hyp' переходят при заданных исходных HvJ1 в уравнения относительно Lk'n (x% т. е. в уравнения относительно 6 параметров L(x). В этом смысле функциональная зависимость коэффициентов Lk'п от х% не произвольна, а подчинена эйнштейновым уравнениям (в тетрадном представлении).
Будем далее для краткости две рассмотренных группы преобразований называть соответственно Pi /,-преобразованиями (группами).
Разрешая (13.21) относительно Lk\ (сворачиваем с hPm), получаем
Lh'n(x*) =V^n- (13.23)
Аналогично из (13.20)
PVv (13.24)
Отсюда также видна независимость двух рассматриваемых видов преобразований: коэффициенты Lk\ инвариантны относительно общих координатных преобразований, коэффициенты P^\—инварианты относительно локальных лоренцевых. Это, естественно, не мешает связать их друг с другом. Действительно,
140 P?'v = Wwhk' = h»'krLh'nhvn, (13.25)
Lkfn = = (13.26)
В IV главе монографии эти соотношения будут использованы для изучения калибровочных условий и установления связи между разными подходами к введению наблюдаемых величин в ОТО.
