Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
giJ = h2ioij, і, І = 1, 2, З,
где Iii —функции координат ... < здесь и в (12.15) одинаково обозначены взаимно обратные коэффициенты Ламе > . То, что обычно называется компонентами вектора V в элементарных трактовках, не ковариантные компоненты Vi или контравариантные компоненты Vі, а «обычные» компоненты Vi'.Vi = IiiVi = fif1 Vt» [26, с. 108, 109].
Далее градиент, вихрь, дивергенция, лапласиан выражаются через Ki. Например [26, с. 109]:
V-V = (W3)-1 LiW2+ L ZllZl2V3j.
Следовательно, к уравнениям относительно физических составляющих (компонент) можно прийти двумя путями: 1) отправляясь, как рассмотрено в предыдущих пунктах, от уравнений в векторной форме и применяя разложения вида (12.3), 2) отправляясь от уравнений в тензорной форме и переходя в них от тензорных компонент к физическим с помощью соотношений, таких, как (12.13) — (12.15). Фрагменты второго пути имеются в книге [476, с. 396].
124 Приведем несколько замечаний из старой монографии Фре-дерикса и Фридмана [483, с. 131]: «Рассмотрим, каким образом тензориальное исчисление можно применить к вопросу преобразования уравнений величины (к величинам), встречающимся в физике...» Далее говорится: «...Таким образом, проекции наших векторов на оси q не совпадают, вообще говоря, с составляющими в многообразии M3^) наших векторов, а отличаются от них множителем, зависящим от коэффициентов Ламе. Во многих физических вопросах, как мы увидим в дальнейшем, эти проекции векторов на оси qi <физические составляющие> имеют определенное физическое значение; поэтому представляется часто более выгодным вводить в рассмотрение именно эти проекции, а не составляющие векторов в M[484, с. 135]. Иллюстрируем сказанное на следующем простом примере. Пусть имеется цилиндрический волновод с проводящей стенкой. Пусть в некоторой точке стенки E — напряженность электрического поля с компонентами Ei и E2 (тензориальны-ми) и Ert ?ф (физическими) в цилиндрической системе координат. Тогда Ey = гE2, где г — второй коэффициент Ламе. Поскольку Er и ?ф — декартовы проекции в локальной системе, то физическое значение Er — сила, прижимающая единичный заряд к стенке волновода, ?ф — вызывающая его ток по стенке. В то же время криволинейная компонента не равна этой
?
силе как величине в принципе измеряемой: E2=—^ фЕ<р, т. е.
г
ток, циркулирующий по стенке волновода (в поперечном его разрезе), вызывается силой, численно равной Eqh но не E2. Поэтому для физической интерпретации выгоднее переходить к компоненте ?ф.
12.4. Подчинение коэффициентов Ламе двум условиям. Условия выбора координатной системы иногда выражаются через коэффициенты Ламе. Так, в книге [473, с. 23], в частности, принимается
A4= 1, -L L = о (12.16)
dq і A3
и подчеркивается, что, хотя эти предположения кажутся весьма специальными, большинство практически применяемых систем координат им удовлетворяет (например, сферическая, обобщенно-цилиндрическая и др.). В монографии [477, с. 25] принимается другое частное условие:
-J-(A2A3) = O. (12.17)
dqi
Остановимся на двух общих условиях, которым подчиняются коэффициенты Ламе. Первое из них — требование евкли-
125 довости геометрии. Обычно оно просто подразумевается, а иногда записывается аналитически. Соотношение (12.7) позволяет выразить коэффициенты Ламе через метрический тензор [476, с. 394]:
Sa=Vhu fa = l/ftS, g39=Vhl gmn=0, тфп> (12.18)
где
Sii=H2i9 Hi = Vjfo. (12.19)
Следовательно, если метрический тензор задан, то коэффициенты Ламе могут быть найдены с его помощью. Это позволяет выразить через Hi и символы Кристоффеля, и тензор Ри-мана — Кристоффеля. Поскольку в евклидовой геометрии этот тензор равен нулю, в монографии [483, с. 140] подчеркивается: «...Коэффициенты Ламе не могут быть заданы произвольно». Так как в трехмерном евклидовом пространстве тензор Римана — Кристоффеля имеет 6 независимых компонент, то «...таким образом получим 6 соотношений, называемых уравнениями Ламе» (с. 140), и далее эти соотношения, т. е. равные нулю компоненты тензора кривизны, записываются относительно коэффициентов Ламе:
d2#! 1 дН2 OHi 1 дН3 dHi = Q
dq2dq3 H2 dq3 dq2 H3 dq2 dq3 d2#2 1 дН3 дН2 1 дНі дН
Sq3Pql H3 Oqi dq3 Hi dq3 Oqi
= 0, (12.20)
A / L JL ( dffj V1 1 dHj дН2 =0
Sql V Hi dqi J dq2 \ H2 dq2 J НІ dq3 dq3
Система (12.20) —первое общее условие,, которому подчинены коэффициенты Ламе. Оно слишком обще и громоздко, чтобы использовать приведенные дифференциальные уравнения для разыскания Поэтому Н\ обычно находятся из геометрических соображений при фиксированной криволинейной системе координат с учетом частных проявлений евклидовой геометрии. При этом Ламе принимает второе, обязательное для своей теории условие: декартова триада должна присоединяться касательно (соответственно ортогонально) к координатным линиям. Ограничение ортогональными координатными системами всегда допускает такое условие.
Если для разложения (12.4) ввести более подробную запись (перейдем к обозначениям (12.13)):
126 -^- = HelWewt f, k = 1, 2, 3, (12.21)
