Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
[1, I, с. 461]. Этим соотношением Эйнштейн фактически обобщает трехмерные выражения Ламе (12.5): dsi = Hidqif хотя на это и не обращает внимания. Коэффициенты aV(j тем самым обобщают коэффициенты Ламе. В другом месте и по иному поводу (при других номерах уравнений) Эйнштейн записывает связь между коэффициентами ava и метрическим тензором ОТО: «Кроме того, из равенств <13.1 > и <13.2> имеем
[1, I, с. 337]. Эти соотношения, очевидно, обобщают соотношения теории Ламе (12.19). Ясно, что
— частные решения системы (13.3).
В «Основах ОТО» [1, I] Эйнштейн применил приведенные общие уравнения для установления в поле Шварцшильда связи «между «локально» измеренными... длинами и промежутками времени ...и приращениями координат dxv...» (с. 501). Воспроизведем эту связь, опираясь непосредственно на (13.2). Из* (13.2), в частности, следует:
(13.2)
а
(13.3)
а
0W = Vgm
(йХд4ха=ах9=ах<=о=<*ийх1, (dX4).. . = a44d*4> (13.2a)
т. е.
(13.2b),
9*
13t Полагая dXА и dXk локально измеренными и равными единицам, для поля Шварцшильда Эйнштейн находит в стандартной системе координат:
dx,= 1 —— , dx 4 = -^-. (13.2с)
2 Г ?44
В своих основополагающих работах по ОТО как теории тяготения Эйнштейн систематически не развил далее общего аппарата, который бы в общем случае, опираясь на соотношения (13.1) — (13.3), связал тензорные компоненты величин ОТО с измеряемыми величинами в его приведенном выше определении. Такой общий аппарат был впоследствии развит рядом авторов и получил название тетрадного представления (метода) ОТО. Эйнштейн прибег к такого рода аппарату уже в своих построениях единой теории поля (см. п. 13.8).
Перейдем к систематическому изложению представления ОТО в лоренцевом базисе на основе эйнштейновых соотношений (13.2), (13.3) и опираясь на триадный метод Ламе.
13.2. Локальные лоренцевы системы (квазикоординатные). Перепишем (13.2) в принятых в монографии обозначениях (см. список основных обозначений):
dxk = h[ikdx^. (13.4)
Замечание Эйнштейна, что «величины dg измеряются точно так же, как координаты в СТО...», означает, что имеет место разложение по лоренцеву базису
dr = dxkek = (hiV) efc. (13.4a)
Дифференциалы dxk — локальные псев до декартовы координаты, действующие в бесконечно малой области 4-простран-ства ОТО, где еще справедлива СТО. Соотношения (13.4а) и (13.3) обобщают соответственно соотношения (12.4) и (12.5) триадной формулировки Ламе его теории криволинейных систем в плоском 3-пространстве. Трехмерная часть квазикоординат dxa обобщает на случай наличия поля тяготения «физические составляющие» элемента перемещения ds±, ds2, ds3 теории Ламе.
Перепишем теперь соотношения (13.3) в принятых обозначениях:
(^v)oTO = VVytan, (13-5)
где, согласно (13.1), щп = diag (—1, 1, 1, 1) (в другой, чем у Эйнштейна, сигнатуре). Соотношения (13.5) обобщают уравнения (12.19) теории Ламе, а индекс ОТО (в дальнейшем писать его не будем) означает, что g^lv относится к искривленно-
132 му пространству ОТО. Следовательно, уравнения Ламе (12.20) с переходом к ОТО отпадают.
13.3. Подчинение обобщенных коэффициентов Ламе эйнштейновым уравнениям тяготения. Учтем теперь, что Эйнштейн, перейдя K римановой геометрии, ПОДЧИНИЛ gVv своим уравнениям (1.1). Запишем их еще раз (для простоты без Л-члена):
^HV — — guvR = — x7Vv (13-6)
Это радикально меняет ситуацию. Триадная формулировка Ламе позволила представить уравнения электромагнитного поля в полностью физических компонентах. Физическими же компонентами g^iv является постоянный метрический тензор СТО. Согласно (13.5) и (13.3):
Цкп = h\h\g^ dx14 = h\dx*- (13.7)
Следовательно, возможность представления уравнений ОТО (13.6) в полностью физических компонентах полевых функций, подобно, например, уравнениям Максвелла (12.9), отпадает. Однако допускается частичный переход. Действительно, в силу (13.5) коэффициенты HlXh вынуждены, так же как и g^v, совмещать описание криволинейной системы координат с описанием гравитационного поля. Умножая (13.6) на Zivft и суммируя по V, получаем так называемое тетрадное представление эйнштейновых уравнений тяготения в лоренцевом базисе
RlXk-JhixkR = -KTixky (13.8)
где Rixk = AvftjRllv, Ziijlft = Zivftg^v, Tixk= ^kTixv. Поскольку Rixvy Tixv- функции то в силу (13.5) ясно, что они могут быть представлены как функции IilJi и что, таким образом, эйнштейново уравнение тяготения в тетрадном представлении (13.8) является уравнением относительно компонент Zi^fe. Дальнейшее умножение уравнений (13.8) на Hixi с последующим суммированием по |я приводит их к виду
Rkn - у W? = -KTkny (13.9)
в котором, однако, неизвестными, как и в (13.3), являются Zzpl4.
Перейдя к тетрадному представлению эйнштейнова уравнения тяготения, Румер [494, с. 130] резюмирует: «Проведенное исследование показывает, что первичными геометрическими образами, определяющими метрику в пространстве Римана,
133 являются элементы метрической матрицы Ламе, в то время как составляющие метрического тензора gih являются производными квадратичными образованиями» (здесь г, k = 0, 1, 2, 3).
