Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
(rot А)и = -Lr {du (AwW) - dw (Л„У)}, au ^ L-,
(rot A)u = -JL {dw (AuU) - du (AwW)), (12.8)
(rot А)ю = -Lr {ди (A11V) - д0 (AJJ)}>.
Следовательно, с переходом к произвольной, но ортогональной системе координат вместо (12.2) имеем [471, с. 20]:
je Eu = -L {dw (HvV) - dv (HwW)I с VW
je ^ Exi= -L {ди (HwW) - dw (HwU)), с WU
je Ew= -L {д9 (HuU) - ди (HvV)I с UV
т ' 7 я"= ~W я {EwW) ~dw {ЕМ'
І-^=^7 (d^uV)-Ou(EwW)I с WU
(12.9)
і ® н - 1
1Vhw-Uv
{du(EvV)-dv(EuU)}-
С переходом к определенной системе координат требуется разыскание для нее коэффициентов Ламе. В силу того что Єі — единичный вектор, из (12.4) получаем
ні
dr V
т. е.
dq U = V = W =
дх V / ду \2 | / dz №
dqt
Sqi
дх V I ду у / dz ^2
du дх V
du
Sqi ,
1/2
dv дх V
+ i-ilv+
dw
+
dv
ду ^2
du
dz \2
dw
+
do
dz 4>2
dw
1/2
1/2
(12.10)
(12.11)
В частности, для цилиндрической системы координат Hu — Hr= 1, Яи = Яф=г, HwSS Hz=I. В этом случае (12.8) принимает вид
- /е ® гЕг = ± Ht-A- (гHlf), і ° гНг= д±' - ±{rEj,
с дф & с дф dz
- / ^?,= А Я„- f Я„ / ® гЯф = ^ - ^ , (12.12)
с dz дг с dz dr
. со „ д , ы . dHr . со __ д , „ ч д?г -/ — r?z= — (гЯф) ——J — rHz= — (г?ф)— —і. с dr дф с дг дф
Таким образом, добавляя к криволинейной системе координат поле локальных декартовых систем, поле декартовой триады, вместо векторных уравнений получаем уравнения, записанные в удобных для данной задачи криволинейных координатах и содержащие «физические составляющие» величин, соответствующие основному уравнению метрологии.
122 Введение физических составляющих и запись относительно них с помощью коэффициентов Ламе уравнений в криволинейных координатах получили широкое практическое применение, особенно в механике и в прикладных разделах электродинамики для расчета волноводов, резонаторов и т. д. *)
12.3. Переход в тензорных уравнениях к физическим компонентам. При традиционном построении тензорного исчисления величины классифицируют алгебраически по поведению их при преобразованиях координат. Геометрические объекты изменяются посредством того же преобразования, что и дифференциалы координат. В этом преобразовании участвуют производные, вообще говоря, достаточно высокого порядка от новых координат по исходным. Для таких тензорных компонент (составляющих) в дальнейшем при изложении тетрадной формулировки ОТО будем использовать также термины «тензориальные, мировые компоненты». Они не совпадают с введенными выше терминами «физические составляю-шие». Тензорное исчисление в криволинейных компонентах применялось и для переформулировки теорий в трехмерном евклидовом пространстве [257, 476, 484]. Естественно понадобилось приведение в соответствие указанных двух видов компонент. В частности, оно рассматривается в книге [476]. Здесь тензорные составляющие (компоненты) і-го единичного вектора, касательного к і-й координатной кривой, обозначаются через 8г(г). Очевидно,
ег(1) = мгь ег<2) = мг2> er(3) = a8srs, г = 1, 2, 3. (12.13)
«Если нам задан вектор Ar <тензорные компоненты, преобразующиеся как дифференциалы криволинейных координат>, то вместо того, чтобы взять A1t A2t A3 в качестве составляющих тензоров, в классических обозначениях <точнее сказать понятиях^ берут проекции вектора на касательные к координатным кривым. Мы будем обозначать эти проекции через Ла, /4?, Ау\ имеем
Aa = ArSrUb Afi = Аггг(2), Av = ЛГ8Г(3). (12.14)
... Мы назовем эти величины физическими составляющими вектора в отличие от тензорных составляющих. Так как Aat Av являются проекциями Ar на касательные к координатным кривым, то физические составляющие вектора—это просто его со-
*) В известном курсе «Механика сплошных сред» Л. И. Седова при записи уравнений в криволинейных координатах вводится специальный пункт «Физические компоненты векторов и тензоров» (с. 179). Используемые обозначения весьма разнообразны [482, с. 518, 528]: «Физические компоненты обозначаются* с помощью соответствующих индексов, помещенных на строке и заключенных в ломаные скобки, например и<г>, и<0>, vcz">. Аналогичные обозначения используются и для тензоров, например Г<г,г>, Г<г, 0> и т. д.»
123 ставляющие по осям декартовой системы координат, совпадающие с упомянутыми касательными. Аналогично, если нам задан тензор второго порядка Ars1 мы обозначим его физические составляющие через Лаа,Ла15, A^y и т. д., где Aaa = Arser(i)e\ih A^ = = A.ser(2)8r(3) и т, д. ... Выражения эти ... являются, очевидно, инвариантами для всех преобразований координат при условии, что 8Г(1), 8г(2), 8г(з)—три фиксированных вектора ... »[476, с. 394, 395]. Например, для физических составляющих вектора скорости записываются их выражения (с. 396) через криволинейные компоненты и коэффициенты Ламе:
Va = OtZA1, Vfi = PZA2, Vy = 7/A3, (12.15)
где = a, V2 = ?, V3 = у.
В работе [26] пункт «Векторный анализ в ортогональных координатах» после изложения тензорного анализа с величинами, преобразующимися посредством координатного преобразования для дифференциалов криволинейных координат, начинается замечанием: «Читателю может быть интересно, какое имеет отношение тензорный формализм, изложенный в этой главе, к знакомым формулам для градиента, вихря и дивергенции в классических криволинейных системах». Ответ гласит: «Эти координатные системы характеризуются условием, что gij диагонально, т. е.
