Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
dqt k
то второе условие Ламе можно записать алгебраически в виде уравнений
е.(*) = 0 при ІФК U k = 1, 2, 3, среди которых независимы три:
62(i)=0, 8^)=0, є3<2> = 0; Bi(^)=O при i>k. (12.22) Присоединяя (12.22) к системе уравнений
grs = e^'W^W г, S = 1, 2, 3, (12.23)
приходим к выражениям (12.13).
Таким образом, в более или менее явной форме имеют место два общих условия, накладываемые на коэффициенты Ламе: 1) подчинение евклидовости геометрии, в общем виде оно задается уравнениями Ламе (12.20), 2) подчинение требованию касания, которое может быть записано в виде (12.22)*).
12.5. Дополнение триады до лоренцева базиса. Дополнив декартову триаду временным единичным вектором Є(<», СТО в построении Минковского ввела понятие лоренцева базиса (лоренцевой тетрады, четверки векторов взаимно ортогональных и нормированных на единицу) Единичная лоренцева тетрада, когда т}&'п' = inv, подвержена общему преоб-
разованию Лоренца [485, с. 24]. Она явно вводится при изложении СТО в книге П. К. Рашевского [486, с. 259]. Ее декартовы компоненты в СТО изучаются в монографиях [19, 25, 76, 92, 487] и многих других. Лоренцев базис СТО широко используется для изучения негравитационных взаимодействий элементарных частиц, в частности в монографии [488]. В [1,1, с. 7] при построении динамики СТО Эйнштейн ввел локальные преобразования Лоренца (параметры — компоненты мгновенной скорости). Сначала это выразилось в определении импульса частицы в собственном времени с последующим переходом ко времени лабораторному [489, 490]. ОТО стимулировала об-щековариантное построение СТО. Проекции векторов ek на координатные линии криволинейных систем, т. е. HlXk = ^ix'^k (см. список обозначений), являются обобщенными коэффици-
*) В отличие от условия Ламе в механике сплошных сред допускают, что триада (называемая ранее «директорами») может вращаться независимо от смещения точек материальной среды [479]. В старой монографии братьев Koccepa [480] развит математический метод изучения сплошной среды с помощью «жестких директоров». Они ввели понятие «спрятанный триэдр» («скрытый триэдр», «triedere cache») — тройка единичных «жестких директоров». Возникло понятие «континуум Коссера» [481].
127 ентами Ламе. Обобщение состоит в добавлении к haa коэффициента h(0°\ допущении недиагональных членов матрицы /гД коэффициенты IilXk приобретают относительный характер, поскольку в СТО (3+1)-расщепление относительно. В статье [491] приводится ряд конкретных примеров введения в СТО HlXh. В работах [35, 492] тетрады h^k и локальные преобразования Лоренца применяются при рассмотрении электродинамики на вращающемся диске в 4-пространстве Минковского.
В СТО вошла и нулевая (изотропная) тетрада. Еще при рассмотрении в евклидовой геометрии расстояний и углов сначала ограничивались только действительными элементами. Внесение евклидовой метрики в проективную систему, допуская мнимые элементы, внесло новые возможности — появление изотропных или минимальных линий. Ф. Клейн в монографии «Неевклидова геометрия» подчеркивает, что «измерение длин такой прямой невозможно» [493, с. 151]. Приведем выдержку из «Лекций о развитии математики в XIX столетии» (ч. I) Ф. Клейна: «Вследствие этих парадоксальных свойств Ли в начале своей жизненной карьеры (1869/70) называл эти линии не иначе, как «сумасшедшими прямыми». Позже в своих печатных работах он их называл более вежливо минимальными прямыми. Во Франции за ними укрепилось название изотропных прямых (droites isotropes), ведущее свое происхождение от того факта, что при любом вращении вокруг нулевой точки остаются неизменными две такие прямые, соединяющие центр вращения с двумя циклическими точками...» [493, с. 181].
Ограничимся приведенными выше краткими сведениями о тетрадах и обобщенных коэффициентах Ламе в СТО. Резюмируя, можно сказать, что лоренцев базис е^ получил в СТО весьма широкое распространение, как и его проекции на глобальную псевдодекартову систему — коэффициенты лоренцева преобразования Lkfn- В СТО вводятся проекции е^ и на криволинейную систему координат, т. е. на локальную псевдодекартову. Это ведет к обобщению трехмерных коэффициентов Ламе. Находит применение и нулевая тетрада.
12.6. Комментарии к обозначениям. Как видно из предыдущих пунктов § 12, для коэффициентов Ламе во многих публикациях вводятся свои обозначения, но наиболее употребительна коренная буква h (для обратных коэффициентов #). Аналогичная ситуация имеет место в ОТО, где для компонент лоренцева базиса (из § 13 станет ясно, что в ОТО они еще более обобщенные, чем в СТО) также привлекаются разнообразные обозначения. К ним следует предъявить повышенные требования, поскольку они связаны с двумя группами преобразований (см. п. 13.4 и 13.7) и широко используются при (3+1) -расщеплении. Наиболее употребительными являются следующие обозначения:
128 V — Эйнштейн [1, II, с. 229, 289], Вейль («Z. Phys.», 56, 330, 1929), Фок[498], Белинфанте [496], Родичев [531, с. 32, 63] и др.; греческий алфавит закрепляется за группой общих координатных преобразований, латинский — за локальной группой Лоренца.
