Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
W — Эйзенхарт [537], XiW- Синг [530] и др., где за группой общих координатных преобразований закрепляются индексы без вертикальной черты (скобок), а за локальной группой — индексы соответственно с вертикальной чертой и в круглых скобках (это утяжеляет обозначения, но позволяет подчинить индексы укоренившемуся правилу: индексы одного алфавита пробегают значения только 0, 1, 2, 3, другого — только 1, 2, 3).
^a- Пирани [495] (греческие индексы — 0, 1, 2, 3, латинские— 1, 2, 3), причем за локальной группой закрепляются индексы первых частей алфавитов (а...; а...), за общими же координатными преобразованиями — вторых частей алфавитов г...).
X
ех — Схоутен и Стройк [535], е\а) — Мёллер [25], Ландау, Лифшиц [23] (в [23] за локальными (лоренцевыми) индексами закрепляются первые буквы латинского алфавита а, Ъ,
с, ...)*>.
Вводятся и другие обозначения, например Qi (а) —Румер [494], g^ — Мицкевич [567], Vll" — Вейнберг [26] и т. д. Иногда за разными векторами лоренцева базиса закрепляются разные коренные буквы, например принимают Hix(Q)=Xli, H11(I)=I11 и т. д., а лоренцевы индексы отбрасываются (это, однако, неудобно при введении тензоров с несколькими локальными индексами (см. п. 20.1), если локальная группа привлекается к рассмотрению). Когда же рассмотрение ограничено общими координатными преобразованиями и их подгруппами, лоренцевы индексы в таких задачах рационально отбросить, поскольку они остаются без дела.
При выборе обозначений для данной монографии сделана попытка сочетать разные преимущества указанных обозначений. В основу приняты обозначения Эйнштейна, Фока, Вейля, т. е.— коренная буква h (обобщенные коэффициенты Ламе в пределе переходят в обычные коэффициенты Ламе hi) и закрепление разных алфавитов за разными группами, поскольку в монографии рассмотрению обеих групп (координатных и ло-ренцевых) уделяется главное и равное внимание и так как это позволяет в общих случаях облегчить обозначения — поме-
*) В пособии [23, с. 373] принимается: «Во избежание чрезмерного утяжеления записи формул мы будем, однако, писать скобки у индексов лишь там, где реперные индексы фигурируют вместе (или наравне) с 4-тен-зорными...»
9. Зак. 3
№щать в скобки лишь частные (численные) значения лоренце-вых индексов, например АД АД но Am^, V1}- Тогда приходится жертвовать укоренившимся правилом и закреплять за значениями индексов 0, 1, 2, 3 и 1, 2, 3 разные части обоих алфавитов.
§ 13. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОТО В ЛОРЕНЦЕВОМ БАЗИСЕ (АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ)
13.1. Естественно-измеряемые величины (по Эйнштейну) и обобщение коэффициентов Ламе. Эйнштейн, идя по пути Гаусса и Римана, стремился к введению в ОТО измеряемых величин. Он дал их общее определение и, оценивая ситуацию, писал: «...B том обстоятельстве, что в ОТО связь между входящими в уравнения и измеряемыми величинами гораздо менее непосредственна, чем в обычных теориях, лежит, вероятно, основная трудность, появляющаяся при изучении ОТО» [1,1, с. 621].
Проанализируем это замечание, взяв в качестве примера «обычной теории» электродинамику Максвелла.
Декартовы компоненты полевых функций электромагнитного поля трактуются как измеряемые величины. К ним всегда можно перейти от тензорных компонент, которые под вид измеряемых не подходят, или путем преобразования криволинейной координатной системы в глобальную псевдодекартову, или с помощью коэффициентов Ламе. Эти переходы хорошо разработаны и во многих случаях просты. В этом смысле связь между тензорными величинами и измеряемыми непосредственна.
Эйнштейновы уравнения тяготения в метрической формулировке и другие соотношения ОТО записаны в криволинейной системе координат и содержат тензорные компоненты величин, преобразующиеся как дифференциалы криволинейных координат. Эти компоненты не есть измеряемые величины.
Развивая указанное замечание, Эйнштейн ввел в ОТО следующее определение измеряемой величины. Он писал: «...B ОТО нельзя выбрать такую систему координат, в которой можно было бы пространственные и временные разности координат связать путем измерения с некоторым масштабом и часами в такой же мере непосредственно, как это делалось в случае СТО. Подобный привилегированный выбор системы координат возможен только для б. м. <бесконечно малой> области, когда полагается
ds2 = = -dtf-dg-dfs + df. (13.1)
Величины dl... измеряются точно так же, как координаты
130в СТО, однако они не являются полными дифференциалами, В б. м. области все величины можно относить к системе координат dl, в этом смысле мы будем их называть «естественно измеренными величинами» [1, I, с. 355]. Введя это определение, Эйнштейн далее (в несколько иных обозначениях) переходит от квадратичной связи (13.1) к соответствующей линейной. «Пусть Хь X2i Xz — пространственные координаты; Xtk — координата времени... Эти координаты... имеют непосредственный физический смысл в рамках СТО. ...Рассмотренному линейному элементу соответствуют также дифференциалы dxu ..., dxk четырехмерных координат некоторой выбранной системы. Если для рассматриваемого места выбрана такая система координат и «местная» система указанного типа, то величины dXv можно приставить в виде некоторых выражений, линейных и однородных относительно dxo: