Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
je-Ex= -? , Hx= dEz дЕу ,
с dz ду с х ду dz
-E = dHz — дНх j — H = дЕх — 9Ez с и дх dz ' с у dz дх
. со _ дНх дНу . гт __ дЕу дЕх
J 8-Hz — —- - , J Пг
с ду дх с дх ду
Поскольку векторы еь е2, е3 единичны, их можно рассматривать как эталоны, а (12.1)—как частный случай основного уравнения метрологии. Поэтому декартовы компоненты Exy Eyy Ez— образы в теории измеряемых величин.
Однако во многих задачах выгодно задавать положение точки не тремя декартовыми координатами, а тремя другими числами, более отвечающими рассматриваемой частной задаче криволинейными координатами*). В связи с этим говорится: «Введем ортогональные криволинейные координаты qu q2, qz... и будем искать такие скалярные функции этих координат, через которые можно было бы выразить все криволинейные составляющие векторов E и Н...» [473, с. 22]. Для этого сохраняется введение декартовой триады, которая в случае ортогональных криволинейных систем направляется по касательным к их координатным линиям. В работе [474, с. 197] подчеркивается: «Коренное отличие криволинейных координат от обычных прямоугольных заключается в том, что в криволинейных координатах векторы еь е3... зависят от того, для какой точки M они определяются». Поэтому вместо (12.1) имеем
E = Eu (е,)м + Ev (е2)м + Ew (е3)л*. (12.3)
(В дальнейшем индекс M для простоты писать не будем.)
Введение поля декартовой триады позволяет найти такие искомые скалярные функции криволинейных координат, например Eu, Evt Ewt которые удовлетворяют основному уравнению метрологии. Для этих функций вводится название «криволинейные составляющие вектора... или проекции вектора на оси криволинейных координат» [474, с. 198], или просто «со-
*) Используются многие варианты их обозначений: и, v, w— [471], Xu x2t
*з — [26, 472], <7ь <72, Яг — [473—475], а, ?, у — [476], ?, i\, С — [477] и т. д.
119 ставляющие» [472, с. 14]*). В работе [476, с. 394] отмечается: «...B классических обозначениях берут проекции векторов на касательные к координатным линиям. Мы будем обозначать эти проекции через Aocj Afr Ar.. <3десь а, ?, v — криволинейные координаты>... мы назовем эти величины физическими составляющими...» (с. 395).
Поскольку drIdqb имеет направление касательной к координатной линии <7ь, то**)
drIdqb - #ьеь,
где Hb—длина вектора dr!dqb. Поэтому
, dr , . dr , , dr J
dr = ——dqt + ——dq2+ ——dq3 = dq і dq2 dq3
= Htdqiel + H2dq2e2 + H3dq3e3. (12.4)
«Физическими составляющими» вектора dr, отнесенными к единичной, декартовой триаде, являются
dsb = Hbdqb (12.5)
или
dS| = ftgdg, dsл = h^dr], dst =
На этих составляющих может быть построен элемент «физического объема»
dV = dsids2ds3 = HiH2H3dqidq2dq3. (12.6)
Строя с помощью (12.5) квадратичные формы и записывая их в разных употребительных обозначениях, получаем
ds2 = ds\ + ds\ + dst = HUq2I + Hldq22 + H\dq\ =
= da2!h\ + d^/ht + dy2!h\ = U2du2 + V2dv2 + W2dw2=
= h\dl2 + hldx? + h\dl2, (12.7)
где «...коэффициенты /?, /іл, hi <соответственно и в других обозначениях> в общем случае изменяются от точки к точке; они называются коэффициентами Ламе» [477, с. 88; 478—481].
Первые из названий могут привести к недоразумениям, так как термин «криволинейные составляющие» теперь чаще употребляется в другом смысле (для тензорных, аффинных компонент). Для проекций на направления декартовой триады будем далее придерживаться названия «физические составляющие, компоненты» [476].
**) В этом соотношении и ему подобных, поскольку векторы триады ка-сательны к координатным линиям, суммирование по одинаковым дважды встречающимся индексам не предполагается.
120 Приводится и такая мотивировка введения физических составляющих (компонент): «Векторам и тензорам, встречающимся в физических задачах, обычно приписаны физические размерности. Например, скорость имеет размерность длины, деленной на время. Компоненты поля скоростей относительно данной системы координат не обязаны иметь ту же самую размерность, поскольку размерности различных членов естественного базиса <координатного> обычно не являются все одинаковыми. Например, в цилиндрических координатах вектор ег безразмерен, вектор ее имеет размерность длины, а вектор ее — размерность, обратную размерности длины. В физических задачах часто бывает желательно иметь возможность интерпретировать каждую компоненту вектора в тех же терминах, что и сам вектор, и по этой причине вводят физические компоненты» [482, с. 518].
Таким образом, поле декартовой триады (Єг)м позволяет ввести «физические составляющие (компоненты)» соответственно основному уравнению метрологии. Локальная декартова система (dsi) связана с криволинейной, согласно (12.5), посредством коэффициентов Ламе.
12.2. Переход в векторных уравнениях к физическим компонентам. В векторные уравнения входят дифференциальные операторы, в частности выражения rotA, divA. Векторный анализ, используя разложения типа (12.3) и (12.5), позволяет получить их проекции на координатные линии (например, [483, с. 200, 201]). В частности, «...это дает для компонент rotA в координатах a, vt w выражения:
