Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Выбор термина мотивируется так: «Если матрица ||?2<(а)|| <т. е. h[Xh> диагональна, то ее элементы Qu(k) суть коэффициенты Ламе, поэтому мы будем ее называть метрической матрицей Ламе» [494, с. 111].
Подчинившись эйнштейновым уравнениям тяготения, обобщенные коэффициенты Ламе h^h становятся, как и g^v, полевыми функциями. Поэтому их называют также тетрадными гравитационными потенциалами. «Другими словами гравитационное поле может быть описано посредством четырехнож-ника с компонентами [496].
Если решения g^v метрических уравнений (13.6) известны, то можно пойти по пути Ламе — разыскивать обобщенные коэффициенты Ламе HlLh по заданным g?V, т. е. найти их из более простой, чем (13.8) алгебраической системы уравнений (13.5).
13.4. Выход за рамки условий касания Ламе. Сравним систему (13.5) с уравнениями СТО L/t'rLn'srjrs=rj/rri'=inv, исследование которых не ограничилось разысканием одного частного решения. Общее решение, содержащее шесть произвольных постоянных, привело к группе Лоренца. Это стимулирует не ограничиваться и в ОТО одним частным решением системы (13.5) Hixm=^gixix, |т|==||л|. Общее решение этой системы в ОТО сложнее. Оно содержит также шесть произвольных, но не постоянных, а функций координат. Поэтому теория нуждается в дополнительных условиях, которые помогли бы определить параметры — функции. Простейший вариант таких условий — задание шести компонент A11* из соображений целесообразности. Тогда остальные 10 можно найти из (13.5). Математически допустима и более общая формулировка задания недостающих условий: в виде шести дополнительных уравнений, связывающих, вообще говоря, все 16 компонент hyp. Это аналогично ситуации с координатными условиями, которые иногда подбираются из условий целесообразности, как, например, в задаче Шварцшильда, решаемой в стандартной системе координат, а иногда задаются в виде уравнений, например ^ngliv=O (координатные условия Эйнштейна [1, I, с. 433]), условий гармоничности де Дондера—Фока и др. Дополнительные шесть уравнений по аналогии с электродинамикой получили в тетрадном представлении ОТО название калибровочных условий (подобная ситуация имеет место в электродинамике при разыскании потенциалов электромагнитного поля).
Эйнштейновы уравнения тяготения (13.6) позволяют разыскать 10 независимых компонент g^iv с точностью до четырех произвольных функций. Чтобы найти эти функции или преду-
134 предить их появление, эйнштейновы уравнения метрической формулировки ОТО дополняются четырьмя координатными условиями. Без этого нельзя довести до конца решение ни одной конкретной задачи. Уравнения Эйнштейна в тетрадном представлении (13.8) недоопределены еще в большей мере, чем (13.6): в результате перехода от (13.6) к (13.8) число независимых уравнений сохраняется, а число неизвестных увеличивается с 10 до 16. Поэтому из (13.8) компоненты Zim/1 находятся с точностью до 6 произвольных функций. Чтобы найти эти функции или не допустить их появления, нужно присоединить к (13.8), вообще говоря, 6 дополнительных условий (калибровочных). Без этих условий разыскание гравитационных потенциалов h^k не может быть доведено до конца. С математической точки зрения допустимо множество вариантов калибровочных условий. Повременим с дальнейшим обсуждением калибровочных условий И предположим, ЧТО IllXk уже полностью известны.
13.5. Физические компоненты в тетрадном представлении ОТО. Выпишем сначала несколько уравнений из § 12 в принятых в данной монографии обозначениях. Тогда формулы (12.3) и (12.8) примут вид
E = + ?(*>е(2) + ?<з>е(8)> (12.3а)
/в — =---(— (#(2)/i2<2>)--— (Я(з)А8(8))1
' с AaWft8Wl дх3 ( дх2 V (8) T
'7 - І:-Ь wH- (,2'8а)
В частности, (12.12):
. (0 — je — с гЕ( D = д и дф (гН(2))» dz (12.12а)
—І <° F (2) = с Il ja: ¦--T-^r(S)' дг
где Ht = #(!), Яф = #(з), H2 = Я(з)—компоненты напряженности магнитного поля.
В тех же обозначениях соотношения (12.14) принимают вид
A(i)=Arhr(i)t Л(2)=ЛГАГ(2), A(z)=Arhr(3). (12.14а)
Во всех этих соотношениях — классические коэффициенты Ламе, но в иных, чем ранее, обозначениях. Естественно, что в
135 конкретных задачах классической физики с их условиями касания и сравнительно узким классом используемых криволинейных координатных систем нет смысла менять обозначения, например Eu, Ev; Er, Eqh уже перешедшие в область инженерной практики на Ещ, E^y
Дополняя декартову триаду до лоренцевой тетрады и предполагая наличие гравитационного поля, обобщаем (12.3а) и (12.14а) для произвольного 4-вектора А в пространстве ОТО:
А = АЧК = Ааеа + Л«»е(о), Ak = Al4MiS
где IllXk уже подчинены эйнштейновым уравнениям тяготения.
Аналогично (и это обобщает сказанное в п. 12.3), если заданы компоненты некоторого тензора более высокого ранга, изменяющиеся посредством преобразования для дифференциалов координат, то и их можно отнести с помощью обобщенных коэффициентов Ламе к лоренцеву базису:
- A^Av71... h\h°8... А*™ ... ... (13.10)
В частности, сопоставляя эту запись с обозначениями, использованными Мак-Коннелом [476, с. 394], имеем
