Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
СТО явилась разительным примером, показавшим, насколько важно знание четырехмерных трансформационных свойств величин, которые в конце концов устанавливаются опытом, подтверждающим или отбрасывающим теоретические предположения об этих свойствах. Так, в СТО замена Е, В тензором Ehn позволила правильно описать электромагнитные явления в инерциальных системах отсчета.
Коль скоро L(x) в ОТО трактуется как преобразование систем отсчета, то изучение в ОТО трансформационных свойств величин относительно L(x) имеет первостепенное значение.
Изменение калибровочных условий, меняя в 4-пространстве ОТО ориентацию лоренцевой тетрады е^ преобразует тем самым посредством локального лоренцева преобразования и физические компоненты величин. Так, например, для компонент вектора или тензора 2-го ранга в другой неинерциальной системе отсчета
Ahf = LhfnAn9 (13.29)
А* п' =Lhr7L*',Ars, (13.30)
где Lh' — коэффициенты локального лоренцева преобразования. При такой трактовке большая содержательность тетрадного представления состоит в том, что оно располагает и тензорными компонентами величин (мировыми, несобственными), удобными при расчетах, и «естественно измеряемыми величинами» — физическими компонентами (собственными величинами), введение которых необходимо при сравнении теории с результатами измерений. Аналогия между СТО и ОТО, приведенная Тредером в [28, § 1, 2], отделяет формальную координатную ковариантность от L (X)-ковариантности. Последняя трактуется как общий принцип относительности, как непосредственное обобщение специального принципа относительности.
13.10. Естественно-измеряемый объем. Физические компоненты дуальных тензоров. Эйнштейн ввел в ОТО понятие инвариантного [1,1, с. 337] (или естественно-измеряемого)
143 обгьема [1, I, с. 359], фактически обобщая его определение в теории Ламе (12.6): «... интеграл
dr0 = J dX4X2dX3dX4 (13.31)
является инвариантом, т. е. не зависит от выбора системы координат». Далее Эйнштейн находит для этого инварианта другое выражение, связывая с элементом
dr = ^dxi ... dxk> (13.32)
где dXa — местные координаты СТО, Xll — глобальные криволинейные. Используя свои соотношения (13.2) и (13.3), Эйнштейн получает следующую связь между указанными определителями:
IfiJ = 12 (Vav)I = Kvl2- (13.33)
G
В принятых в монографии обозначениях эта связь имеет вид
g = Ы = IVWW1I = І Vl IWIVI =
= hx\h = /і2Г], h = IVI = det V» Л = det r|fcn. (13.34) Отсюда следует
Y~g = hV~4] = h. (13.35)
Из (13.2) и (13.33) следует соответственно в обозначениях Эйнштейна и в принятых обозначениях
A0 = V~g dr = J dxMdxWdxWdxM = det V J dbfi ... dx3.
(13.36)
Остановимся на этом детальнее, ограничившись записью именно дифференциальных соотношений. В частности, для ортогональных криволинейных систем
dxWdxWdxWdxW = VJ^V~gTiV'g^V"g^dx4xidx4x\ (13.37)
Это выражение обобщает элемент (12.6) теории Ламе. В об-_ щем случае элемент объема выражается через произвольные тетрады:
dxWdxMdxWdxW = h^m^h%WhWdx4x4x4x*. (13.38)
Этот элемент объема не только общековариантен, но, как нетрудно убедиться, и лоренц-ковариантен, подобно тому как ло-ренц-ковариантны метрический тензор Tjfen и единичный тензор (в отсутствие отражений) четвертого ранга Леви-Чивита гЫтп [499, с. 6]. (Поскольку Lh\Ll\Lm\Ln\s™rs =(feiLp\)bk'l,m,n' и если (в основном это далее принимается) det Lpfq=+ 1, то ък'п'г'*'
144 имеет во всех лоренцевых системах одни и те же значения компонент, Причем g0l23 _ g(0)(*)(2)(3) —- J ^
Мировые компоненты относительного тензора Леви-Чивита
T1^d = h\Wnh\h?fiknr\ Hllvjla-V---Vefcnre (13.39)
испытывают на себе влияние как координатной системы, так и гравитационного поля. Выполняя суммирование в правой части (13.39) и вводя сокращенную запись, в которой принято, что сходные буквы двух алфавитов принимают одинаковые численные значения, находим
f,uvxa = (det ftp(r)) Bmnls = V^g emn/S. (13.40) В другой координатной системе
= Y—g' Emnls1 g' = det gW'. (13.41) Например, в двухмерном случае
AViVlflb = e(1)(2)(A1(i)A2(2) - h\2)h\t)) =
= S(1Xa) det A« а, Ь, а = 1, 2,
g
gii gl2 rf2i «-22
(VaH1b^) (h\h\4*b) -
- (A1AO (A2cAW) = (det h\)\ с, d= 1,2.
Пользуясь символом Леви-Чивита, вводят также элемент объ ема в виде
dV = є hnrtdxkdxndxrdxs = ZknTih^hnh^rhGsdx^dx^dx4xa = = ц^йхМхЧхНх« = (det V) dx^dxMx3,
Є(о)(і)(2)(з) = + I- (13.42)
В частности, включая такой элемент объема в соответствующий инвариантный интеграл Гильберта, вариационным путем приходят к тетрадным представлениям эйнштейновых уравнений (13.8) и (13.9) [494, с. 130].
С помощью дискриминантного тензора можно ввести тензоры, называемые дуальными. Связь между их мировыми и лоренцевыми (физическими) компонентами производится обычным образом с помощью тетрад. Так, например, тензор дуальный тензору A^0:
dA^ ~ T1^Mxg = -I h\h\^AXo = (13.43)
Z ?
= — ^Ar,= ~ h\h\eknrsAr,=h^h\DA"\
JL JL
10. Зак 3 145 Аналогично для дуального вектора
z^ti= ~ ^vkaAyxa = HtlU0Ak = J- ^"Aknr. (13.44)
