Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
понятие проекций изотропного вектора исчезает. В случае (14.23) выражение (5.3) упрощается:
(dx°±)dl==0> dx(o)=0
go*dx*
(dx°Ae c)ds=0 =
goo
і/
gottgo?'- googtt? dxadxt (goof
(14.24)
Отсюда для полного промежутка времени десинхронизации, когда сигнал, ушедший в прямом направлении, вернется в ту же точку,
2 _
(dx\e с)+ — (dx\eс)_ =-V(goagofi — googa?) dx*dx*.
goo
Выделим теперь из (5.3) случай, соответствующий движению частиц с досветовой скоростью. Для этого, ИСПОЛЬ- ? зовав (14.22Ь) и (14.22с), представим (5.3) в виде
dx® дЄС=
dx»
gu?
dr
dx?— —dl
dr
g Ov
dxv dr
(14.25)
153 Это выражение при условии сопутствия частице локальной лоренцевой системы, когда
dl/dx = О,
принимает вид (5.4), т. е.
dX,t Л R
^Vc=--gJv/dx . (14.26)
Если частще сопутствует также система координат, а тогда
i? = О,
то в уравнении (14.25)
dt2 = V«&dxadxfi = (ga? — goago?Jgoo)~dxadxfi и оно, упрощаясь, принимает вид
dx\e с = — goadxtygoo. (14.27)
•
Это следует и из подстановки в выражение (14.26).
Те же случаи могут быть выделены и из общего тетрадного представления элементаdx%c, т.е. из уравнения (14.21). Условие сопутствия dl/dx = О может рассматриваться как три калибро-
dX |Lt
вочных условия hi-= О (см. подробнее § 16). Подставляя
dx
их в равенство (14.21), также приходим к выражению (14.26). Последнее можно применять и к изотропному сигналу, заменив в нем т на другой параметр вдоль изотропной линии, отличный от нулевого, и учтя специфические для этого случая значения постоянных интегрирования в первых интегралах уравнений изотропной линии.
Наконец, найдем в общем виде связь между временем движения (распространения) и временем десинхронизации. Для частицы с досветовой скоростью
xadxa = хаха = _ 1 + X0X0 _ _ 1 + go^x» dx° X0 X0 ~
Для изотропного сигнала
Xadxa XaXa • • . ¦.. dx^ і , л
-jT-- = -?- =-x0=-g0vx\ х*= ——, dp^dx. dx° X0 dp
Следовательно, для элементов dx°—времени движения частицы и времени распространения сигнала соответственно
154 (dX°);
I v<c —
Сравнивая (14.28) с элементом времени десинхронизации (14.26), находим соответственно
Отсюда можно заключить, во-первых, что связь времени десинхронизации существенно меняется по мере V-+C, что, в частности, и было видно при рассмотрении эффектов 32а — 32с, во-вторых, что эффект «времени задержки», следующий из десинхронизации, является универсальным и в пределе V = = с вырождается в эффект Шапиро. Продолжим рассмотрение времен десинхронизации и задержек в § 24 в зависимости от гравитирующих и пробных параметров.
14.4. Тетрадное представление ОТО в «полунулевых» и нулевых тетрадах. Формализм Ньюмена—Пенроуза. Задача введения физических компонент ОТО потребовала ее перестройки относительно обобщенных коэффициентов Ламе как проекций единичной лоренцевой тетрады. Это ограничило возможный выбор метрического тензора СТО введением лишь Щп = diag (—1, 1, 1, 1). В то же время нулевые векторы СТО — важнейший составной элемент СТО, вытекающий из требования предельности скорости света. Поэтому требование ОТО локальной справедливости СТО допускает в ОТО локальные метрические тензоры СТО недиагональные, в частности, у которых Ti(O)(O) = Ti(I)(I) = 0, Tj(O)(I)=T^O. Поэтому наряду с системами уравнений (13.3), (13.5) введем соотношения
где T|ftn или «полунулевой» (полудиагональный) метрический тензор СТО, или нулевой. На системе уравнений (14.30) и основан широко используемый в ОТО формализм Ньюмена— Пенроуза [500—510, 512, 513].
Нулевая тетрада Z^ и связанная с ней локальная «световая» координатная система с квазикоординатами
чужды нерелятивистской физике. Как отмечалось (п. 12.5) в выдержке из монографии Ф. Клейна, «...измерение длин на такой прямой <нулевой> невозможно» [493, с. 151].
Если рассматривать коэффициенты Ламе как преследующие цель введения физических (измеряемых) компонент, то переход от /l/ к ZlXk целесообразно рассматривать как новое направление в тетрадном представлении ОТО. Поэтому сохра-
(dx°)v==c = dx°}
дес-
(14.29)
(Ы ото = ZllkZvn^k7li щп = Z\Z\gxw (14.30)
dxk = ZM1
(14.31)
155 ним название «обобщенные коэффициенты Ламе» только за АД связанным с Tiftn==Cliag (—1, 1, 1, 1), a ZlJi будем кратко называть нулевыми (полунулевыми) тетрадами. Однако в силу (14.30), где (g,Liv)ото — решения эйнштейновых уравнений тяготения, коэффициенты Zyk в равной мере можно рассматривать как полевые функции, как гравитационные потенциалы.
Действительно, подставляя недиагональный метрический тензор Tjfen в систему (14.30), получаем возможность разыскать при заданных соответственно полуизотропные или изотропные тетрады, очевидно, с точностью до произвольных функций. Для однозначного разыскания Z ? еще нужны добавочные условия, эквивалент калибровочных условий. Аналогично предыдущему умножение уравнений (13.1) на Zv^c последующим суммированием по v приводит к тетрадному представлению эйнштейновых уравнений тяготения в нулевых (полунулевых) тетрадах:
