Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Соответствующий обход по замкнутому контуру при этом задан в определенной голономной системе координат. Задание контура неголономными координатами приводит в (15.32) ко второму, дополнительному члену, зависящему от объекта не-голономности.
Относительно голономных координатных преобразований антисимметричная часть т. е. кручение, является тензором
'S** р'а' — Г[р'а'] = P11 +
+Pi"'Л.' PVl = Po-aTtw (15.35)
164 В СТО и ОТО оно равно нулю, так как Г[Ра] == 0. С переходом к неголономной системе естественно, как и в случае с кривизной, определить кручение, сохранив его тензором:
Skmn= YVm] (15.36)
S1mfSfz= у [m's'] ~Ь m's' = L iLm>m Ls> Sms. (15.37)
Выражения (15.32)-(15.34) и (15.36) понадобятся в главе V при рассмотрении специальных формулировок ОТО. Глава IV
ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ КАЛИБРОВОЧНЫХ УСЛОВИЙ
Система отсчета = систем а коорди-нат+калибровка.
г. BE иль
Понятие системы отсчета может быть выведено из понятия лаборатории...
в. л. ФОК
ВВЕДЕНИЕ
Практика использования тетрадного представления ОТО для решения конкретных задач не ограничилась разысканием из системы (13.5) при данном g^v лишь одного из возможных частных решений. Исследовались разные частные решения, т. е. вводились разные калибровочные условия. Более или менее явный выбор этих условий подчинен у разных авторов разным мотивам. Иллюстрируем это несколькими примерами.
Так, Ю. Б. Румер [494, с. 111] говорит: «Поскольку ортогональное преобразование Слокальное лоренцево> определяется— п(п—1) параметрами, матрицу Ламе всегда можно 2
привести к нормальному треугольному виду ,Q1(I) Q1 (2) ... Q1(Zi) / О Q2(2) . . . Q2(Zi)
Vo 0 ... Qn (п)
при котором она, как и симметричная матрица Гаусса ||goxll,
определяется лишь —п(п—1) элементами». Такой выбор ка-2
либровочных условий, требующий равенства нулю поддиаго-нальных элементов матрицы Ламе, удобен тем, что применительно к ОТО оставляет систему (13.5) или систему эйнштейновых уравнений (вместе с координатными условиями),
166 содержащих число неизвестных, равное числу независимых уравнений.
В книге [23] приводится другая мотивировка: «...Возможны ситуации, когда по тем или иным причинам (например, по свойствам симметрии метрики) целесообразен выбор неортогональной тетрады» (имеется в виду с недиагональной матрицей) и в примечании уточняется, что целесообразный выбор тетрады может диктоваться стремлением придать определенную форму й/2-пространственной части ds2.
В. И. Родичев ввел калибровочные условия в виде дифференциальных уравнений [531]. Они интересны тем, что этим условиям можно придать форму условий гармоничности (квазикоординат), подобно условиям де Дондера—Фока, и тем, что они способствуют вскрытию аналогии между тетрадным представлением ОТО и электродинамикой. Jl. И. Седов в связи с получением «локального уравнения энергии» гравитационного поля, использовал полный набор из шести калибровочных условий, приводящий к «тетрадам А. 3. Петрова» *): Wmo= W1030 = 1^1031=^1012=^2030=^2012, где W^a-тензор Вейля конформной кривизны [708]. Эти шесть уравнений относительно тетрад h^k направляют лоренцев базис ел по главным направлениям, соответствующим канонической форме тензора Вейля. Там же говорится, что вместо шести указанных калибровок можно ограничиться только тремя, выделяющими главное направление е(0) (см. далее — неполный набор, физическая часть калибровочных условий). Три остальных можно заменить другими калибровками, например условиями Ферми—Уолкера, которые, в частности, привлекаются к решению задачи об инерциальной навигации (см. далее § 18). Также в связи с исследованиями энергии гравитационного поля Н. В. Мицкевич предлагает условия, при которых векторы лоренцева базиса автоматически оказываются обобщенными векторами Киллинга [567].
В качестве калибровочных условий предлагается [543] выбирать равенства нулю динамических характеристик систем отсчета, т. е. компонент коэффициентов вращения Риччи (15.27), преобразующихся по тензорному закону при чисто пространственном локальном преобразовании Лоренца. В частности, в работе [624] при изучении эргосферы в поле Керра избирается калибровка V(0)(ab)==0, которой требуется жесткость системы отсчета. Мотивы выбора этой калибровки физические. Можно было бы привести множество других мотивов выбора калибровочных условий, в частности следующий: «Существует много подходов к калибровке тетрад, но мы не будем на них
*> См.: Седов Л. И. «ДАН СССР», 1978, 240, 568; Желнорович В. А., Седов Л. И. «ПММ», 1978, 42, 771.
167 останавливаться, ограничившись концепцией одиночного наблюдателя, так как остальные подходы базируются на формальных соображениях, в лучшем случае чисто геометрических, а не физических» [567, с. 67]. В связи с этим отметим, что «концепция одиночного наблюдателя» входит в класс калибровок сопутствия, который будет рассмотрен в § 18, и что сказанное требует следующей расшифровки. В какой бы форме ни были заданы калибровочные условия, если они позволяют найти H11(O) как непрерывную функцию с достаточным числом производных, то тем самым они задают, вообще говоря, конгруенцию мировых линий, к которым касательна хроно-мо-нада е(о). Каждая из мировых линий конгруенции — одиночный наблюдатель. Внешний вид калибровочных условий может наперед ничего не говорить об их физическом содержании, о характере задаваемой ими конгруенции. Это действительно имеет место во многих случаях. Их содержание, однако, вскрывается после использования таких калибровочных условий. В этом смысле они формальны, но лишь до их применения. После их привлечения к разысканию HvJ1 физический смысл принятых калибровочных условий выясняется. В частности, он может быть установлен разысканием с помощью свертка (13.23), т. е. Lh'n = hVih'h^ny коэффициентов L(x), если исходные h^n найдены при помощи калибровок с уже известным физическим содержанием. Может оказаться, что найденное преобразование Lk'n(xl) весьма специально и имеет узкие рамки применимости и в этом смысле более формально, чем некоторые иные случаи. Если калибровочные условия содержат коэффициенты вращения Риччи, то их смысл может быть раскрыт выделением тех компонент этих коэффициентов, которые играют роль динамических характеристик. Так, например, калибровка вида = 0 *), как выясняется после раскрытия суммации, требует определенной, специальной связи между этими характеристиками. Это, по-видимому, сужает рамки ее применимости. Внешний вид калибровки обнаруживает лишь определенные свойства симметрии. Таким образом, общий подход к калибровочным условиям требует, чтобы оценка их физического содержания производилась не только по их внешнему виду до их применения, но и на основе их более детального изучения, включая результаты, полученные после их применения. В итоге все калибровочные условия с учетом сделанного выше замечания о непрерывности и дифференцируемое™ приводят к «концепции конгруенции наблюдателей». Постановка конкретной задачи укажет, следует ли произвести выбор одной из линий конгруенции и если да, то какой именно.
