Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Яц*--у ZixkR = -KTixk. (14.32)
Представление ОТО в нулевых (световых) тетрадах получило название формализма Ньюмена—Пенроуза (формализма НП). В нем нашла распространение локально-безындекс-ная запись за счет обозначений разных нулевых векторов разными коренными буквами:
Zixm = (Iix, /Л HilXi щ)9 (14.33)
I11Iil = 0, ^rtll = 0, ItipuMvi = т?-KIvi = о,
где черта — знак комплексного сопряжения. В этих обозначениях система (14.30) принимает вид
guv = 2 {/(и. fiv) — m(lx mV)}. (14.34)
Как уже отмечено, формализм НП сходит с пути, намеченного Ламе, в том смысле, что уже не преследует цели ввести измеряемые величины. Локальные компоненты, например
Ah = ZixhAlly (14.35)
уже не являются образами в теории результатов измерения. С триадным формализмом Ламе НП-формализм связывают лишь некоторые формальные аналогии. НП-формализм обязан новым возможностям СТО и оказался весьма плодотворным при решении в ОТО задач на излучение, классификацию полей тяготения, включение спинорных полей в ОТО и др. По-
156 этому по НП-формализму в ОТО имеется большая литература. Ему посвящены недавние обстоятельные обзоры [501—503], где приведены основы НП-метода в ОТО, его применения, обширная библиография (см. также библиографию в работах [35, 511]). В случае полуизотропных тетрад формализм связывают с именами Героча—Хелда—Пенроуза. В публикациях по НП-формализму подчеркивается, что изотропные тетрады определяются неоднозначно. Действительно, соотношения (14.30) —инварианты относительно преобразований комплексной группы Лоренца. В частности, этот вопрос обсуждается в работе [501, с. 88, 89]. При этом обращается внимание на 4-параметрическую подгруппу группы Лоренца с двумя действительными и одним комплексным параметром. Однако вопрос о выборе калибровочных условий для изотропных тетрад еще не получил всестороннего развития. Он становится актуальным в связи с ростом применений аппарата НП для решения задач ОТО [501—503, 512, 513], а также в связи с эффективным введением в ОТО комплексных координат [514 и др.]. Их применение позволило получить не только отдельные новые точные решения уравнений поля Эйнштейна [515, 516], но и целые классы таких решений (см., например, [501 — 503, 517, 518]). Если все векторы тетрады изотропны, то решениями уравнений Эйнштейна могут быть метрики типа (см. [519])
fifnv = rW + {Н + IF) k^K kje = 0, (14.36)
обобщающие известный класс решений Керра—Шилда [520]. Обычно ограничиваются рассмотрением лишь «действительных срезов» решений уравнений Эйнштейна [506—509, 521]. Устранить мнимую часть метрики можно и специальным выбором комплексной тетрады. Как показано в работе [523], этот подход естественным образом связан с методом аналитического продолжения. Согласно [522—527], большая роль в формализме Ньюмена—Пенроуза принадлежит преобразованиям группы SL (2.С), а также группы SL (2.C)XSL (2.С) (накрывающей для SO (4.С)). Это становится особенно наглядным при записи уравнений Эйнштейна в форме уравнений Янга—Миллса [522, 527], составляющих основу калибровочной теории гравитации. Один из ее вариантов (с группой SL (2.С) в качестве калибровочной) развивается в [526, 528, 529]. В последнем случае комплексные коэффициенты вращения Риччи, см. § 15 (спиновые коэффициенты Ньюмена—Пенроуза), выполняют роль потенциалов, а тетрадные компоненты комплексного тензора Вейля — напряженностей поля Янга— Миллса и преобразуются в соответствии с группой SL (2.С) [522, 527]. В связи с этим представляет интерес выяснить, генерируют ли при определенных условиях подгруппы комп-
157 лексных преобразований координат ОТО соответствующие подгруппы преобразований комплексной группы Лоренца, а также установить ковариантность относительно подгрупп комплексной группы Лоренца различных вариантов калибровочных условий, которыми дополняют систему уравнений (14.30). Такого рода вопросы применительно к вещественным тетрадам рассматриваются в главе V.
14.5. Общий тетрадный метод. Введение в ОТО метрического тензора Tjfcn = Cliag (—1, 1, 1, 1) использует требование о локальной справедливости СТО только частично. В СТО, кроме этого тензора, возможно введение других постоянных метрических тензоров, образованных не только единичными, но и нулевыми векторами. Поэтому в общем случае в ОТО имеет место система уравнений
(&v)oto = ^evnXikn9 (14.37)
в которой под т)kn уже понимается произвольный лоренц-инва-риантный метрический тензор с постоянными компонентами. Объединяя уравнения (13.8) и (14.32) и переходя к коллективной записи, получаем
Rixk - -L emR = - KTllh. (14.38)
Это и есть общий случай тетрадного представления эйнштейновых уравнений тяготения. Они вместе с координатными условиями и дополнительными калибровочными условиями составляют основу общего тетрадного метода с двумя ветвями— ^ixk = Hixh и e^ik=Z11K- Так, при обсуждении тетрадного представления уравнений Эйнштейна в [23, с. 374] подчеркивается: «Что касается произвольно задаваемой матрицы г|аг> <а> b = Or 1, 2, 3>, то наиболее естественный ее выбор — в «галилеевой» форме (т. е. диагональная матрица с элементами 1, —1, —1, — 1); при этом реперные векторы ... взаимно ортогональные, причем один из них времениподобен, а три других — про-странственноподобны. Подчеркнем, однако, что такой выбор отнюдь не обязателен...» Во многих изложениях тетрадной формулировки ОТО, например в монографиях [25, 530], с самого начала ограничиваются единичной тетрадой, не оговаривая, что этим сужается учет требования ОТО локальной справедливости СТО и соответствующие этому возможности аппарата.
