Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
следующий результат.
Теорема 4.5 (см. [10], теорема 1). Предположим, что lerf и
sfix(y)six(у)* = si для всех y^G. Пусть Н: D (Н) s si -*¦ si-
плотно определенное, замкнутое, *-линей- ное отображение.
Следующие условия эквивалентны:
(1) а. S4-F^D(H), siF- сердцевина для Н, и выполняются
матричные неравенства
[я №)]<[*(*,)• *, + *!"(*,)]
для любого конечного набора Хи ..., Xn^siF.
b. Hx(g) = x (g) Н для всех geG.
c. Н(Х)= 0 для всех Хе/.
(2) S4-F^D(H), S4-F сердцевина для Н и существует отобра-
жение L из G в центр six со свойствами:
a. H{X)=L(y)X, где X<=six{y).
b. выполняются матричные неравенства
[<xY. (L (у, - у,)) - L (у[)" - L (у/)] < 0
для всех конечных наборов у\, ..., у" в G.
c. L (0) = 0.
(3) Н является производящим оператором сильно непрерывной
полугруппы ехр (- tH) на si, такой что-.
О динамических полугруппах и действиях компактных групп 193
a. ехр(-/Я) вполне положителен для всех /^0.
b. x(g)exp(- /Я) = ехр(- /Я)т (g) для всех geG, / > 0.
c. ехр { - tH){X) = X для всех ^ е / > 0.
Доказательство. Мы покажем, что (3) => (1) => (2) => (3).
(3) =>(1): Нетривиальным является лишь доказательство
того, что stF^D(H), т. е. stx(y)^D(H) для всех ye б. Но /е/)(Я) и
Я|л1 = 0 в силу (Зс). Кроме того, поскольку ехр(-/Я) коммутирует с
Pv = | dg(у, g)r(g), имеем
Py(D(H))<=, D(H) и, в силу того что Ру(/)(Я))е^'(у), получаем,
что D(H)[)stx(y) плотно в stx(y). Покажем теперь, что stxD(H)<=
D(H) и D(H)stx s D(H) и, кроме того,
ехр(- lH)(AB) = А ехр (-
tH)(B), ехр(- /Я)(?М) = ехр( -
1Н)(В)А
для А ЕЕ stx, B^st. Но эти равенства следуют из [9], лемма 4.3, и
тогда требуемые включения получаются дифференцированием.
Следовательно, множество D (H)f\ stx (у) плотно в stx(y) и
инвариантно относительно левого и правого умножения на stx.
Поскольку 1 ЕЕ stx = stx (у)stx(у)*, то D(H)f\ П stx{y) = stx{y).
(1) =>(2) (см. также [9], [10]). Для любого уеб найдем
конечный набор Х\, ..., Хп в stx(y), такой что
к
И ПОЛОЖИМ
My ) = ZH(x,)xt.
Тогда L (у) е stx(y)stx(-y)*=stx. Теперь простое рассуждение ([9],
лемма 5.3), использующее неравенство Шварца для положительных
билинейных форм
X, Ге stP (Я (X*) Y + Х'Н (Y) - Я (ГГ))
для любого состояния со на st, показывает, что
H(XY) = XH(Y), H(YX)= H(Y)X
для всех Y^stF. Таким образом, если Xei'(у),
то мы имеем
Н(Х) = I XkX\H (X) = I Я (ХкХ\Х) =
к k
= ZH{Xk)X\X = H У)Х.
194
Уо Браттели
Если Ке/, Ie/(v), то
YL (у) X = YH(X)^H (YX) = L (y) YX,
и, следовательно, L(у) принадлежит центру s4-x. Поскольку H \л% -
0, то L(0) = 0. Остается доказать матричное неравенство (2Ь). Если
Xi е ^т(у,), то
я (X*) х,. + Х]Н (х,) - я (х;х,) =
= x;l (y<)* X, + X]L (Y/) X,. - L (у, - Y/) x;x, =
= *1 {L (Yl)' + L (v,) - \ (L (Y/ - yt.))} X].
Таким образом, свойство полной диссипативности Я и некоторые
манипуляции с матрицами показывают, что
[L (у,-)* + L (Y/) - ciY. (L (Y/ - уг))] > О
для любого набора Yi> •¦•> Уп s G.
(2) =4-(3): (см. также [10], леммы 1.6-1.8). Операторы
L(Yi)*, L(\j) и aY (Z,(Y/ - у,-)) лежат в абелевой С*-алгебре -
центре s^x. Таким образом, теорема Шура о положительных матрицах
и ((2)Ь) влекут за собой неравенство
[Г {L (у"Г + L (V/) - aY. (L (Y/ - у,-))}т] > 0
для т - 0,1, ... ; t^O. Умножая его слева на матрицу \e~tL (vi)6?./] и
слева на сопряженную, получаем
у-tL L'iYtm ]Х(уг)* + L (У,-) - (L (Y/ - Yi))}(tm) е~ *L (V/)] > 0-
Разделим на ml и просуммируем по т от 0 до оо. Тогда сумма
больше или равна нулевого члена, т. е.
[g-<aVt (L (V/-Y,))] ^ [e~*L (V I)'-* (Y/)]
Если Xi e s&x(yi), то, умножая это справа на
"X, о ... 0 ¦
х2 о ... о
_ х" о ... о _
и слева на сопряженную матрицу, получаем
, -^Y.(i(Y/-Yi)) v ^ v у."~а(у1Уе-а(У1)х
О динамических полугруппах и действиях компактных групп 195
Таким образом, определяя е~ш на stF соотношением
e-tH(ZxA=Ze-tL"%
V Y / Y
для мы можем записать полученное неравен
ство в виде
е~ш(Х'Х) > e~tH (Г) e~tH(X)
для всех X ш stF. Аналогично,
[*-ш №)}>[*-**
Пока еще не было доказано, что е~ш ограничен. Однако геометрия
вложения подпространств str(y) в st имеет свойства, которые
обеспечивают ограниченность оператора e~tH. В самом деле, если В:
stp-+st - любое линейное отображение со свойствами
(i) В (ГА) ^ 0 для X е stF,
(ii) для любого y^G существует Су > 0, такое что
ШПКС.Ш для ХЕ/(У),
то тогда ||.В(А)||<; С0||А|| для всех Те ([10], лемма 1.8). Поэтому
определенные выше отображения е~ш ограничены, и доказательство
теоремы 4.5 завершено.
Эта работа была написана во время визита автора к Дж. А.
Эллиоту в Оттавском университете при поддержке Канадского
научно-исследовательского совета по естественным наукам.
Литература
1. Araki Н., Haag R., Kastler D., Takesaki M. Extensions of KMS states and chemical
potential, Commun. Math. Phys. 53 (1977), 97-134.
2. Batty C. J. K. Unbounded derivations of commutative C*-algebras, Commun. Math.
