Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
системой, он также может быть включен в картину, и при этом
внутренняя согласованность набора правил i)-v) представляется
отнюдь не очевидной На самом деле оказывается, что при
достаточно общем определении измерительного прибора такая
согласованность требует подходящего обобщения не только
постулата v), но даже постулатов ii) и iv).
Процесс квантового измерения
201
2. ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ И РОЛЬ
ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ПРИБОРА
Обобщение правил квантовой механики, которое позволяет
преодолеть ограниченность обычного формализма и по крайней мере
имеет внутреннюю согласованность, было разработано рядом
авторов, среди них Людвигом [1] (которому принадлежат многие
первоначальные идеи), Хеллвигом, Краусом, Харткампером,
Нейманом, Хаагом и Кастлером, Эдвардсом, Льюисом, Дэвисом,
Холево, Пруговечки [2], [3]. Это обобщение существенно опирается
на понятия теста операции, тестзначной меры и операционнозначной
меры.
Тест - это ограниченный эрмитов оператор, такой что
0<К<1, (2.1)
а тестзначной мерой (т.з.м.) на Rp называется отображение Р(Т)
из <M(Rp) в множество тестов в Ж, такое что
/ оо \ оо
р ( U Г/1=1 ?(7/); Ti(]Tl = 0, 1Ф\. (2.2)
\/=1 V i=i
Аналогично, операцией называется линейное отображение f
пространства ядерных операторов Т(Ж) в себя, которое является
положительным и не увеличивает след, т. е.
0; Тг(/А)<ТгА, для А>0, (2.3)
а операционнозначной мерой (о. з.м.) называется отображение f (Т) из
38(Rp) в множество операций, такое что
/ со \ оо
flUT,)=Zf (Тj); Tt П Ts = 0, 1Ф /. (2.4)
\/=i / /=i
Отметим, что проекционный оператор Ё является частным случаем
теста, а проекторнозначная мера Ё(Т)-частным случаем т.з.м.
Поскольку Ё(Т) идемпотентен, то из (2.2) следует
E(T)E(S) = E(TnS) = E(S)E(T), (2.5)
тогда как в общем
F(T)F{S)=?F(S)E(T). (2.6)
Далее, всякой операции f (о. з. м. f (Т)) соответствует тест
(т.з.м.), определяемые соотношением
Tr (FX) = Tr (fX) или Tr(F(T)X) = Tr(f(T)X). (2.7)
!) В оригинале используется термин "эффект", предложенный Людвигом.-
Прим. перев.
202
Дж. М. Проспери
Утверждение следует из (2.3). Более того, из хорошо известного
факта, что сопряженным к пространству Т(Ж) является
пространство всех ограниченных операторов В (Ж), следует, что
F = fTl или Р(Т) = Г(Т)1 (2.8)
где fT - сопряженное отображение, определяемое соотношением
7r(Y(fX)) = 7r((fTY)Xy, VIgT(^), FeB(l), (2.9)
где I - единичный оператор в Ж.
Анализируя взаимодействие между системой и измерительным
прибором, Краус [2] показал, что всякая операция имеет вид
/А=?ГД07, где f 1 = В(Ж), (2.10)
i
если потребовать, что отображение f вполне положительно, а не
просто положительно. Для того чтобы отображение
(2.10) было операцией, необходимо также, чтобы выполнялось
ЕПг /</, (2.И)
I
причем тест, связанный с f, дается формулой
Б=Ег1гг. (2.12)
Отметим, что соответствие между операциями и тестами (о.з.м. и
т. з.м.) не является взаимно однозначным, но одному и тому же тесту
(т. з.м.) отвечает бесчисленное множество операций (о.з.м.). В
частности, любому тесту Р можно сопоставить операцию
fX=F'l2XF'h. (2.13)
Аналогично, любой т. з.м. Р(Т) можно сопоставить о. з.м.б
f(T)X^^F'll(dk)XF'l2(dk). (2.14)
т
В дальнейшем нас особенно будет интересовать случай, когда т. з.м.
Р(Т) имеет плотность относительно положительной скалярной меры
р(7'):
F(dk) = f(k)dv(k). (2.15)
') Выражению (2.14) не всегда можно придать однозначный смысл; например,
этого нельзя сделать, если P(dX)-обычная спектральная мера квантовой
наблюдаемой с непрерывным спектром, - Прим.. перед.
Процесс квантового измерения
203
В этом случае соотношение (2.14) можно записать в виде
?(T)X=\dpi(k)f',4k)Xf','(k). (2.16)
т
Теперь постулаты ii), iv) и v) заменяются на следующие: ii') Всякой
наблюдаемой А (набору совместимых наблюдаемых A\,Ai, Ар)
сопоставляется нормированная т.з.м. РЛ(Т) на 38 (R) (на %(№)).
iv') Если система приготовлена в состоянии W в момент t = 0, то
вероятность получить значение наблюдаемой А из множества Т e^(R)
(соответственно из Т <^,$(RP) для А = = (Л ь Л2, ..., Ар)) в момент t
равна
Р(А еГ, t\W) = Tr{FA(T, t)\W}. (2.17)
v') Данной процедуре 5л измерения А сопоставляется
нормированная о. з. м. f sA(T)> которая связана с РА(Т) со-
отношением
FA(T) = fsA(T)I. (2.18)
Если в момент t0 была выполнена процедура 5л и получено
некоторое значение из множества Т, то состояние системы
преобразуется по формуле
W^fSA(T, t0) W/Tr {f sA(T, tQ)W}. (2.19)
Отметим, что соотношение (1.8) является частным случаем
(2.19) . Еоворя о нормированных т.з.м. и о.з. м., мы имеем в виду,
что FA(T) и fsA(T) должны удовлетворять очевидным условиям
F4(R) = /, Тг{/Гл(К)Х} = ТгХ. (2.20)
"Временная эволюция" о.з. м., появляющаяся в уравнении
(2.19) , определяется соотношением
fsA(T, t)X^eM{fSA(T)(e-if!tXeiff')}e-iffi, (2.21)
причем имеют место равенства
Tr {fsA (Т, t) W } = Tr {FA (Т, t) W } =
