Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
(i) 5т (g) = x(g)S для всех g^G,
(ii) S(X) = X для всех X<^stx.
Тогда существует вероятностная мера ц на G, такая что
S(X) = \dp(g)x(g)(X).
о
Инфинитезимальная версия этой теоремы, которая, в частности,
дает классификацию вполне диссипативных операторов,
коммутирующих с эргодическим действием, выглядит следующим
образом.
Теорема 4.3 ([9], следствие 5.8). Пусть G - компактная абелева
группа и х - точное действие G на С*-алгебре st. Предположим, что
либо stx проста, либо существует точное представление п0 алгебры
stx, такое что n(stx)" - фактор, где л - представление
Стайнспринга, ассоциированное с
л0°Р^Р == ^ Пусть Н: D(H)<= st^-st- плотно оп
ределенное, замкнутое, *-линейное отображение. Тогда следующие
условия (1) - (4) эквивалентны:
a. stF ^D(H), stp - сердцевина для Н, и выполняются
матричные неравенства
190
У. Браттели
для всевозможных конечных наборов Ai X"^^F-
b. Hx(g) = x(g) Н для всех g^G.
c. Н(Х) - 0 для всех Хе/.
(2) Е D(H), S&F - сердцевина для Н, и существует
отрицательно определенная функция % на G со значениями в
С, такая что Ц0) = 0 и Н(Х) = %(у)Х для всех уеб. (X
называется отрицательно
определенной, если имеют место матричные неравенства [К
(у, - Y<) - ^ (y<) - ^ (Y/X о
для всех конечных последовательностей уь ..., yn^G.)
(3) Н является производящим оператором сильно непрерывной
полугруппы ехр(-tH) на s&, такой что
a. ехр(-tH) вполне положителен для всех t ^ 0;
b. т(^)ехр(-tH)-exр(-tH)x(g) для всех g^G,
с. ехр(-tH)(X) = X для всех X е si-x, t^O.
(4) Существует сверточная полугруппа {р(|^^0} вероят-
ностных мер на G, такая что Н - производящий опе-
ратор сильно непрерывной полугруппы St, определяе-
мой соотношением
для всех lerf, (р" называется
сверточной по
лугруппой мер, если p(+s = щ * Ps при t, s ^ 0, ро=б и t-*-
непрерывно).
Далее, если G - d-мерный тор Td и {d/dxi}'f=l - производящие
операторы действий канонических однопараметрических подгрупп Td
на s&, то условия (1) - (4) эквивалентны также следующему.
(5) S4-F S D(H), S4*F является сердцевиной для Н и существует
тройка (b,a,\i), где b - (Ьь Ьа)-набор вещественных
чисел, а = [ац] - вещественная положительная йУС, d-
матрица, а р- неотрицательная ограниченная мера на
0;
т (?)(*)
о
Iй \ {0} = {х = (Xi) I - л < Xi < Я, х ф 0},
такая что
d
где || х ||2 = X х\.
n=i
О динамических полугруппах и действиях компактных групп 191
Тройка, о которой говорится в (5), однозначно определяется по
Н, и может быть любой тройкой с указанными свойствами.
Основную трудность в доказательстве теоремы 4.3 составляет
доказательство импликации (1)=^(2), поскольку если % отрицательно
определенная, то из теоремы Шёнберга вытекает, что у->-ехр(-
th(y))-положительно определенная функция для всех t ^ 0, откуда
по теореме Бохнера следует существование сверточной полугруппы.
Эквивалентность
(2) ^=^(5) является следствием представления Леви -
Хинчи- на отрицательно определенной функции. Импликация (1)=*-
=>-(2) следует из более общего результата в [9], который был далее
обобщен в [10]. Вместо того чтобы формулировать эти общие
результаты, мы разберем довольно специальный случай,
охватывающий, впрочем, теорему 3.3 и допускающий обобщение, из
которого следует импликация (1)=^(2) теоремы 4.3.
Пусть снова G - компактная абелева группа, действующая как
группа т автоморфизмов С*-алгебры st, и пусть stx{ у), у ей,
минимальные спектральные подпространства. Поскольку stxstx(y)^
stx(y) и stx{y)stXl=stx(y), т. е. stx(у) является двусторонним модулем
над stx, получаем, что stx (у)stx (у)* является идеалом в stx.
Относительно т и st мы сделаем специальное предположение, что st
имеет единицу 1 и идеал stx(y)stx(y) плотен в stx, и, таким образом,
равен stx для любого у еб. Нам понадобится следующая лемма.
Лемма 4.4 ([10], лемма 1.5). Предположим, что 1 ^ st и stx (у) stx
(у)* = stx для всех у еб. Для любого А из центра stx существует
единственный элемент aY(/4) из центра stx со свойством
ау(А)Х = ХА
для всех X^stx{у). Более того, у->ау является представлением G в
группе автоморфизмов центра stx.
Доказательство. Существует конечный набор Xk^stx(у), такой
что 1 = (см. [9], доказательство леммы 4.4).
k
Если А принадлежит центру stx, то положим
Тогда aY (А) е= stx (у) stx stx{- у) S stx и если B<^stx, то существуют
Yit Zi^stx(y), такие что B=^Y.Z*, следова
192
У. Браттели
тельно,
",М>в~ Z х"Ахур,- Т адк,лг; =
kt hi
- I = Z YtAZ]Xkrk= z Y^X.AX^Ba^A),
l Rl kl
где во втором и последнем равенстве было использовано, что А
принадлежит коммутанту six. Аналогичные выкладки показывают,
что
ау(А)Х = ХА, Хе/(у),
и
aY(A)aY(S) = aY(AS), А, В е centre {six).
Единственность ау{А) видна из того, что
sM)=Z(aYM)*A)*; = z
R R
и поэтому групповое свойство aYl+Y3 - aYlaY, вытекает из того,
что s4-x (yi) six (у2) ^ s4? (Yi + Y-i)-
Построив группу автоморфизмов aY, мы можем доказать
