Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Как в разд. 3, положим
Й:=Я (r) V,
ф :=Ф <8> т,
ft:= AdVt ¦ dt, где К,:=(0 ) , &, := Id3,
<g> аи
Р : (Й, ф) -> 51: х <8> у-*^{у) • х, х е 21, у <= <8.
Из предложения и теоремы разд. 3 мы получаем желаемый результат.
Теорема. Система (91, ф, 7Y, Р) является минимальным мар-
ковским расширением для (St, ф, Т,).
Интерпретация, данная в разд. 2.2 для дискретного расширения,
имеет естественный непрерывный аналог. Динамическая система Сй\
т, сг<) описывает внешнее магнитное поле, имеющее характер белого
шума. Для а > 0 гамильтониан
. , /5(0, а) 0 \
На :==_2^ В^' 0 - В(0, a)J на
описывает влияние этого магнитного поля на частицу со спином -j
за время а, где а рассматривается как единица времени. Это
отвечает следующей формуле для дискретного случая, которая легко
вытекает из 2.3: для хе/(91) имеем
Тп(х) = Ad Vn(x) = e~tH"- ¦ хе'Ип, где Нп := уф?" • <Д.
Если обозначать через N производящий оператор at, то тогда N -\-
[На, • ] является производящим оператором динамической системы
(91, ф, Tt) и при а->0 Tt сходится сильно к Tt для любого teR,
Таким образом, наше расширение интерпретируется как описание
частицы со спином ^ в магнитном поле, флуктуирующем как белый
шум (ср. [12]).
б. МАРКОВСКОЕ РАСШИРЕНИЕ ДЛЯ ОБЩЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ (Щ, Ф,
Rt)
В заключение мы покажем, как результаты разд. 4 могут быть
использованы для получения минимального марковского расширения
динамической системы (St, ф, Rt). Как показывает обсуждение в п.
1.4, это - наиболее общая система на St, для которой мы можем
надеяться найти расширение.
178
Б. Кюммерер
Искомое расширение для (§1, ф, Rt) получается склеиванием
квазисвободного расширения для (31, ф, St) и расширения для (31,
ф, Tt), полученного в разд. 4. Поскольку эта конструкция носит
скорее технический, чем идейный характер, и вполне аналогична
конструкции из [9], мы ограничимся указанием основных шагов и
отсылаем читателя к работе [9] за подробностями и
доказательствами. Все рассуждения остаются применимыми и для
случая непрерывного времени.
Отправляясь от унитарного расширения полугруппы г-*- ->е-
(и/2+'")<¦ г в одномерном гильбертовом пространстве С, мы
получаем применением КАС-функтора минимальное марковское
расширение (Jf, со, S*; Е) для (31, ф,5() ([4], [9] разд. 2).
Вложение, соответствующее Е, будет обозначаться /. Положим
31 := Л3 <8>'ЗЕ и ф:=(0(8>т.
Тогда / 0 Idg' является вложением % - %0<ё в 31 = j?0<a?, и
существует автоморфизм Rt системы (31, ф), такой что для х е 31
R • /0(х 0 Iv) = (Rt 0 ld<g) ¦ (j 0 Ы%) -ft(x0 h).
Явное выражение для Rt, имеющее еще более технический характер,
может быть найдено в § 4 работы [9].
Поскольку Е 0 Idg' является условным ожиданием из (31, ф) на
(Й, ф), то полагая Р :=Р ¦ (Е 0 Id^), мы получаем условное ожидание
из (Й, ф) на (31, ф).
Теорема. Система (ЗЬФ,/?(; Р) является минимальным марковским
расширением для (31, ф, Rt).
Как в [9], или используя ([8], 3.3.6), мы видим, что (Й, ф, 5;)
является обобщенной К-системой, если только О ф р ф 2%, в
частности, инвариантное подпространство является одномерным.
Литература *)
1. Accardi L., Frigerio A., Lewis J. Т. Quantum Stochastic Processes, Publ. RIMS,
Kyoto Univ., 18 (1982), 97-133 (перевод см. в настоящем сборнике, стр 13-52).
2. Emch Q. Q. Albeverio S., Eckmann J.-P. Quasi-Free Generalized K- Flows, Rep.
Math. Phys., 13 (1978), 73-85.
3. Emch G. G., Varilly J. C. On the Standard Form of the Block Equation, Lett. Math.
Phys., 3 (1979), 113-116.
*) Звездочкой отмечены работы, добавленные при переводе. - Прим, перев,
Примеры марковских расширений над !> у,<2-матрицами 179
4. Evans D. Е. Completely Positive Quasi-Free Maps on the CAR Algebra, Comm.
Math. Phys., 70 (1979), 53-68.
5. Hida T. Brownian Motion. Springer Verlag, Berlin - Heidelberg - New York,
1980.
6. Kern М., Nagel R., Palm G. Dilations of Positive Operators: Construction and
Ergodic Theory, Math. Z., 156 (1977), 256-277.
7. Kiimmerer B. Markov Dilations of Completely Positive Operators on W*-Algebras,
"Topics in Modern Operator Theory", Proc. Timisoara - Herculane 1982,
Birkhauser Verlag, Basel 1983.
8. Kiimmerer B. A Dilation Theory for Completely Positive Operators on W*-Algebras,
Thesis, Tubingen 1982.
9. Kiimmerer B., Schroder W. A Markov Dilation of a Non-Quasifree Bloch Evolution,
Commun. Math. Phys., 90 (1983), 252-262.
10. Kiimmerer B., Schroder W. A Survey of Markov Dilations for the Spin- Relaxatiori
and Physical Interpretation, Semesterbericht Funktionalana- lysis, Tiibingen,
Wintersemester 1981/82, 187-213.
11. Kiimmerer B. A Non-Commutative Example of a Continuous Markov Dilation.
Semesterbericht Funktionalanalysis, Tiibingen, Wintersemester 1982/83, 61-91,
12. Lewis J. Т., Thomas L. C. How to Make a Heat Bath. In "Functional Integration",
Proc. Cumberland Lodge, London, Clarendon Press, Oxford 1975, 97-123.
13. С.-Надь Б., Фояш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом
