Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
подходящую ст-алгебру подмножеств У и Л1г,, - событие из 2,
отвечающее ограничениям траектории z{t) при t > t0. Тогда
классическая динамика должна быть выражена как совокупность
правил для построения вероятностной меры P{Mta\W, t0) на
пространстве траекторий z(t), t to.
Связь между классическим и квантовым описанием находится,
если, обобщая соотношения (2.23) - (2.25), мы допустим, что
P(Mt-\W, t0) может быть записана в-виде
P(MtAW, t0) = Tr(Fh(Mh)W), (4.3)
где W -статистический оператор, описывающий приготовление, a Ft, (Alt,,) -¦ т. з. м. в гильбертовом пространстве систе
мы, вычисленные в соответствии с квантовой механикой многих тел.
Мы должны также предположить, что имеется о.з. м.
/ Оь 4; Л1/о). такая что
Р (Alt, [\Nu\W, to) = Tr {Ft, (Alt,) f 0i, О W), (4.4)
или, эквивалентно
Ft. (Alt, П N\l) = f 0" to, AIi) К (Alt,). (4.5)
в частности
МО = /гОь t0\ 07. (4.6)
Здесь Nt', обозначает элемент 2, описывающий ограничения
на траекторию z(t) при t е(/0; М-
Заметим, что условие нормировки записывается в виде
Ft (T)=f или Тг{/(/ь to, y)W} = lxW, (4.7)
так что (4.5) эквивалентно соотношению
f{t2, to-, Alt; п А<:) = / 02, Aitj) f Ob to, N$. (4.8)
Из (4.4) и (4.8), полагая N\[ = Y и
ЗФь <о) = ГОь to, Y)> (4.9)
*) На самом деле соотношения (4.5) и (4.6) следуют из (4.4), если дополнительно
предположить, что В, ( • ) плотна в пространстве В (Ж) ограниченных операторов в
ЖВ противном случае (4.5), (4.6) можно ввести как исходные предположения, из
которых будет следовать (4.5),
210
Дж. М. Проспери
получаем
P(MU\W, /0) = Тг (Ft. t0)W} (4.10)
и
f {к, к л$) - / {t2, к, к),
(4.11)
где 3f(tut0) играет роль оператора эволюции в пространстве
состояний. На языке квантовой механики рассмотренные выше т.
з.м. и о.з.м. описывают наблюдение над данной системой, которое
протекает в течение определенного отрезка времени.
Таким образом, встает проблема фактического построения
объектов со свойствами, выражаемыми соотношениями (4.4) -
(4.11). Эта проблема и будет рассматриваться нами в дальнейшем.
Отметим, что в этих соотношениях нет ничего, что было бы
характерно для макроскопических величин, и на самом деле те
примеры, которые нам удалось полностью рассчитать, относятся к
очень простым системам. Следует заметить, что получаемые нами
общие результаты могут быть интерпретированы как действительно
соответствующие классическому описанию больших систем, не за-
висящему от наблюдателя, только при выполнении некоторых
дополнительных требований, таких как релятивистская
инвариантность (см в связи с этим замечания в [9]).
5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ
КООРДИНАТЫ
Наиболее прямой путь к построению математических объектов
типа У и {Ми) и ? (к, к М<0> описывающих наблюдение
непрерывных траекторий данной величины А, состоит в переходе к
подходящему пределу при TV-"-оо в уравнениях (2.23) - (2.27), так
что интервал наблюдения (t0, tN) остается фиксированным. Для
определенности рассмотрим приближенное измерение координаты,
определяемое уравнением (2.31), и разделим интервал (to, М на N
равных частей, полагая
^0== кг ^гг:=' к (r) • (^*1)
Тогда уравнение (2.26) может быть записано в виде р(хь тр, ...;
xN, xN | U7) = Тг jexp[ ^ (тлг))2] •••
exp[- -f-(*i - <7(тч))2] ' ^ ' exp[- -^-(xi - <7(t,))2] ...
exp[--4(tw))2]|, (5.2)
Процесс квантового измерения
211
где вводится плотность вероятности, нормированная как
J dxx ... dxNp(xu Ti; ...; xN, rN\W)=l. (5.3)
Если в уравнении (5.2) положить
а = уе (5.4)
и перейти к пределу при N -*-оо, то мы получим функциональную
плотность вероятности
р((ь /"; И0]1Ю =
= Тг |г ехр ? Y \ dt (х (/) - q (t)f j • W X
X Г exp [- -f \ dt (x (t) - <} (t)f ]
J, (5.5)
где T и T* обозначают временное и антивременное упорядочение
соответственно.
Точно так же мы можем ввести функциональную плотность
операций
f{t\, to, [*(/)])? =
= Т ехр [- -f \ ['dt (х (t) - с) (О)2] • X X
X Т* ехр ? ^dt(x{t) - (^))2 j (5-6)
и функциональную плотность тестов f(h, to, [x(t)])^f{ti, to,
[*(0])/ =
= Гехр[-^-(л(л:(0-9(0)2]х
XTexp[--f 5^(x(/)-^(0)2]. (5.7)
В силу (5.3) условие нормировки для (5.5) имеет вид
ij d\nQ [х(/)][;р(/,, t0; [х (/)] I W) = 1, (5.8)
где "мера" определена символическим выражением
212
Дж. М. Проспери
Мы можем тогда определить о. з. м.
f(h, Ай N1:)= J d|i0[jc (/)]?: f(/" Ай [*(/)]), (5.10)
и т. з. м.
\ dpa[x(t)]Zf(°°, Ай [*(/)]) (5.11)
с распределением вероятностей
f(Af(,ir, to)= \ <*и0 [*(/)]"/>(">, /о; [Jt(0]l^) =
Мц
= Tr{^"(Af/.)t}, (5.12)
которые формально удовлетворяют всем необходимым требованиям.
Все эти рассуждения, конечно, носят эвристический характер.
Чтобы придать точный смысл введенным выше объектам,
необходимо определить функциональное пространство У и а-алгебру
подмножеств, для которых пределы в уравнениях (5.10), (5.11)
действительно существуют.
Опираясь на теорию обобщенных случайных процессов
[12] , [13], введем пространство Е пробных функций с ком-
