Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
наблюдений. В разд. 5 и 6 мы рассматриваем пример непрерывного
наблюдения, которое описывает приближенное измерение
координаты, и в разд. 7 наша схема распространяется на весьма
общую ситуацию.
1. СТАНДАРТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Общие логические основы стандартной квантовой механики
сводятся к набору постулатов, или правил, которые формулируются,
например, следующим образом:
i) Состояния: со всякой физической системой связывается
определенное гильбертово пространство Ж. Состояние W системы
представляется статистическим оператором W в Ж, который
удовлетворяет условиям
ГеГ(4 U7>0, Тг№ = 1, (1.1)
т. е. является ядерным, эрмитовым положительным и имеет
единичный след.
ii) Наблюдаемые: всякой наблюдаемой А (набору совместимых
наблюдаемых А\, А2, •••> Ар) сопоставляется самосопряженный
оператор А в Ж (набор коммутирующих самосопряженных
операторов Аь А2, Ар). Эквивалентно, в силу спектральной теоремы
оо
A- J lEA(dk),
- оо
А,= \КЕ(А''А' Ар) {dhx ... dkp), s = 1, 2, ..., р, (1.2)
Rp
всякой наблюдаемой (набору совместимых наблюдаемых)
сопоставляется проекторнозначная мера, т е. отображение из
совокупности борелевских множеств ^(К) на прямой R (?§(RP) в
пространстве Rp) в совокупность проекционных операторов в Ж,
удовлетворяющее условиям
EA(R) = 1 (EA(Rp)= l), (1.3)
(
оо \ со
U Т,)=Т1ЁА(Т,У, Т,еЯ, 7'гПГ/ = 0, i ф j. (1.4)
/=1 / /-1
iii) Временная эволюция: временная эволюция системы
описывается в терминах однопараметрической группы унитарных
операторов. В картине Гейзенберга
WH = W, AH{t) = eimAe~iffK О-5)
1 В оригинале -г Coarse-grained. - Прим, перев,
Процесс квантового измерения
199
Поскольку мы в основном будем работать в картине Гейзенберга, мы
опускаем индекс Н.
iv) Распределения вероятностей: если система приготовлена в
состоянии W в момент t = 0, то вероятность получить значение из
множества T^<%(R) для наблюдаемой А (из Т е <%(RP) для А = (Ль
А г ..., Ар)) в момент t
Р(ЛеГ, t\W) = Tr (ЁА (Т, t)W). (1.6)
v)
Редукция состояния: если в момент t0 для наблюдаемой
Л=Ея,Я? (1.7)
i
с чисто дискретным спектром получено определенное значение Я/,
то в результате такого измерения состояние системы преобразуется
согласно правилу
(tn)wSf (t0)
W^W,= Ч°Ч 4° • (1.8)
Тг(ЧЧ)Ч
Сформулированные правила имеют ряд следствий. Во- первых, если величина А была измерена в момент tQ, но результат измерения не принимался во внимание, то исходный
статистический оператор ^ должен преобразоваться в
# = 2>(Л = Л" t0\W)Wl='ZEi(ta)WEf(t0). (1.9) / /
Очевидно,
W ?=W^ ZEf(t0)WEf(tQ). (1.10)
i, 1
Это различие ответственно за так называемую статистическую
несводимость квантовой механики и за тот факт, что всякое
осмысленное утверждение в квантовой механике должно относиться
к специфическим наблюдениям, производимым над объектом, и,
таким образом, не столько к объекту самому по себе, сколько к
изменениям, производимым данным объектом в измерительном
устройстве.
Второе следствие, представляющее для нас особенный интерес,
это выражение для совместной вероятности наблюдения А = К/1 в
момент ^>0 и Л = Я/2 в последующий момент времени t2:
Р(Ч> *15 Ч- *2l W) = P(X,l, U\W)P(Xi2, t2 \Wit)~
= lr{Ef2(t2)El(t{)WEtx(h)). (1.11)
Для вероятности наблюдения последовательности результатов Хц,
..., Я/ в моменты времени ti<t2< ... < tN
200
Дж. М. Проспери
имеем формулу Вигнера Р
(Х^, %jN, tN) =
= Tr (EfN (tN) ...Ц (h) WEf{ (t{) ...EfN (tN)). (1.12)
Наиболее спорным является постулат редукции v). Даже если не
касаться проблем, связанных с уравнением (1.10), очевидно, что этот
постулат не является достаточно общим. Он может относиться
только к крайне идеализированному прибору, который производит
минимальное возмущение, согласующееся с полученной
информацией. В самом деле, заметим, во-первых, что немедленное
повторение измерения дает тот же самый результат, если имеет
место (1.8). Далее, предположим, что имеется другая наблюдаемая В,
совместимая с Д. Обозначим ЩА\В) их общее спектральное разложе-
ние, так что
л~=Еу?<у>, я=?/АлЛ (1-13) А = ? X,ЩА\ Ё(А) = ? в}лЛ
(1.14)
/ I
Тогда модификация состояния системы из-за одновременного
измерения Л и В представляется соотношением
W-> Wn = Efi' В)(Q WEfi В)/Тг {Efi В](t0) W). (1.15)
Если информация о В не учитывается, то # -* Z P(A = Xj, В = ц,; to I
W)Wlt/Z Р(А=Х" B=nr, t0 | W)=
= S Ш В) Оо) W&,j' В) (to)/Tr m (to) W)^w,. (1.16)
i
Это соотношение показывает, что постулат v) неприменим к
прибору, предназначенному для измерения Л и В, если он
используется только для измерения Л. Такое устройство не является
прибором, измеряющим Л с минимальным возмущением.
С этими свойствами измерительного аппарата связано и то
обстоятельство, что постулат v) в его настоящей форме не допускает
естественного обобщения на случай наблюдаемой с непрерывным
спектром. Наконец, поскольку прибор является физической
