Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
О динамических полугруппах и действиях компактных групп 187
Но если si проста, то si имеет "много" внутренних диффе-
ренцирований и имеет место следующий результат.
Теорема 3.3 [8]. Пусть G - компактная абелева группа, и пусть
х - эргодическое действие G как группы *-автоморфизмов простой
С*-алгебры si. Пусть б: siF->si есть *-диф- ференцирование. Тогда 8
имеет единственное разложение
6 = 60 + 6,
где 6о - инфинитезимальный оператор однопараметрической
подгруппы действия т, б - аппроксимативно внутреннее диф-
ференцирование (т. е. существует сеть Hv^si, такая что 6(Л) = lim
[Hv, А] для всех А ^ siF).
V
Доказательство в самых общих чертах следующее: пусть бо есть
инвариантная часть б, т. е.
W)=\dgT(g)6(T(-g)(A))
G
для всех А е Если положить
6у(Л) = jj dg(у, g)x{g)8(x{- g) А)
а
для у G, /1е sip, то имеет место формальное разложение Фурье 6= X
6у- Затем прямое алгебраическое рассужде-
V es О
ние, использующее структуру эргодических действий компактных
абелевых групп, показывает, что все 6Y, где у ф- 0, являются
внутренними, тогда как б0 является внутренним, только если бо = 0.
Теорема 3.3 имеет обобщения на случай, когда si не проста и
когда sip заменяется на six или sin- Подробности см. в [8].
d
Пример 3.4. Если в теореме 3.3 G = Td, то 60 = ^ ak ,
&-i Х/г
оо
где ak - вещественные числа. Если С = D = X Z2 - канторова
группа, то G вполне несвязна, так что должно быть бо = 0, т. е. все
дифференцирования б: sir-^si в этом случае аппроксимативно
внутренние. В свете теоремы 3.2 это неудивительно, так как si
обязательно ЛЕ-алгебра и siF является объединением возрастающей
последовательности конечномерных подалгебр.
188
У. Браттели
Дифференцирование б в теореме 3.3 является внутренним, если б
(stF)^stF И G - конечно порожденная (т. е. G - группа Ли). Если
G = Td и б(^оо)^^оо, то б является внутренним для "почти всех"
эргодических действий в зависимости от теоретико-числовых
свойств параметров, определяющих действие. Например, если G = Т2
= {(21, г2) \zi е е С, \zi\ = 1}, то существуют унитарные элементы
U, V erf, такие что т(2Ь z2) (U) = z\U, т(zu z2) (V) - z2V и VU =
= e2ltieUV для 0e[O, 1). Число 0 параметризует все точные
эргодические действия группы Т2, и является простои тогда и только
тогда, когда 0 иррационально тогда является так называемой
алгеброй иррациональных обозначений). Если 0 - плохо
аппроксимируемое иррациональное число, т. е.
m
п
> с"-(2+е>
для всех натуральных т, п и некоторых С > 0, е > 0, и если
6(^oo)s^oo, то можно показать, что б внутреннее дифференцирование
[8]. Известно, что все иррациональные алгебраические числа плохо
аппроксимируемы (теорема Рота) и что множество плохо
аппроксимируемых чисел 0 в [0, 1] имеет меру Лебега 1 (теорема
Хинчина) [27].
4. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ВПОЛНЕ ДИССИПАТИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
За исключением случая конечномерных С*-алгебр, который
охватывается результатами, сформулированными в конце разд. 2, по-
видимому, нет общих результатов по классификации вполне
диссипативных операторов. Результаты, которые мы опишем в этом
разделе, возникли в результате попыток получить разложение,
аналогичное теореме 3.3 для дифференцирований. Первым шагом в
этом направлении будет характеризация диссипативных операторов,
которые инвариантны относительно г, т. е. аналогов бо из теоремы
3.3. Пока что ничего не известно об аналоге б в диссипативном
случае.
Фактически мы исследуем инвариантные вполне диссипативные
операторы Н в несколько более общей ситуации, чем в теореме 3.3, т.
е. вместо того, чтобы предполагать х эрго- дичным, мы
предполагаем, что Н обращается в нуль на неподвижной алгебре sP
действия т. Для полугрупп это означает, что е~ш коммутирует с т и
обращается в единицу на s&x. Если e~tH - автоморфизм, то
оказывается полезной следующая версия теоремы двойственности
Понтрягина:
Теорема 4.1 ([1], приложение С). Пусть G - компактная абелева
группа, и пусть х - действие группы G на С*-алгебре
О динамических полугруппах и действиях компактных групп 189
st (или алгебре фон Неймана Ж), такое что неподвижная алгебра stx
проста (или Жх- фактор). Пусть а есть *-авто- морфизм алгебры st,
такой что
(i) ат(?) = x(g)a для всех g^G,
(ii) а(Х) - Х для всех X е stx ¦
Тогда существует g^G, такой что а = t(g).
Это утверждение не имеет места для неабелевой G, например для
эргодического действия G = S3 на М2 [22]. Тот факт, что
инвариантная часть бо дифференцирования б в теореме 3.3 является
производящим оператором однопараметрической подгруппы т(G),
может рассматриваться как инфи- нитезимальная версия теоремы 4.1.
Теорема 4.1 имеет аналог для вполне положительных ото-
бражений.
Теорема 4,2 ([9], теорема 4.2). Пусть G - компактная абелева
группа, и пусть т - действие G на С*-алгебре st (или алгебре фон
Неймана Ж), такое что stx проста (или Жх- фактор). Пусть S: st^st
- вполне положительное отображение, такое что
