Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
гладкой струк
182
У. Браттели
турой, т. е. некоммутативным аналогом С°°-структуры диффе-
ренцируемого многообразия, то дифференцирования, которые
определены на гладких элементах, могут быть расклассифицированы
при некоторых, пока что довольно специальных условиях [8]. В
разд. 4 делается первый шаг в соответствующей классификации
вполне диссипативных операторов [9],
[Ю].
2. ПОЛУГРУППЫ, НЕПРЕРЫВНЫЕ ПО НОРМЕ
Это полугруппы, удовлетворяющие условию lim [| 1-5(|| = '
i ->0
= 0 и характеризуемые тем, что 0(Н) = ?ф и ||Я|| ¦< оо
[11] . Таким образом, производящий оператор непрерывной по
норме группы "--автоморфизмов является ограниченным
дифференцированием, а производящий оператор непрерывной по
норме динамической полугруппы - ограниченным вполне
диссипативным оператором. В любом случае Н диссипативен, т. е.
Н(Х)*Х -j- Х*Н(Х)-Н(Х*Х)^ 0 для всех X. Известно, что всюду
определенный диссипативный оператор замкнут и, следовательно,
ограничен и что он является производящим оператором полугруппы,
удовлетворяющей обобщенному неравенству Шварца [17], [21]
e~tH (Х'Х) > e~tH (X)' e~tH {X).
Эта полугруппа является динамической полугруппой, если Н вполне
диссипативен, и группой "-автоморфизмов, если Н -
дифференцирование. Классификация непрерывных по норме
полугрупп, таким образом, сводится к классификации ограниченных
вполне диссипативных операторов и ограниченных
дифференцирований. Относительно их известно следующее:
Если есть С*-алгебра в гильбертовом пространстве Ж и б -
ограниченное дифференцирование в s$>, то б продолжается по a-
слабой непрерывности на алгебру фон Неймана S&", порождаемую в
Ж [20]. Далее, существует оператор L = L* е S&", такой что
б (Л) = i (LA - AL) = / [L, A]
для всех [23]. Говорят, что 6 порождается оператором L. Если - простая С*-алгебра, то L может быть найден в алгебре множителей M(s&) алгебры $?, т. е. L в Ж
может быть выбран так,что Lsi- Е s&, s&L Е [24]. Известно, что
существуют С*-алгебры с ограниченными дифференцированиями,
которые не порождаются множителями; сепарабельные С*-алгебры с
соответствующим свойством могут быть даже охарактеризованы
[16], именно следующие два условия эквивалентны для
сепарабельной s&\
О динамических полугруппах и действиях компактных групп 183
(i) все ограниченные дифференцирования в $Ф порождаются
элементами из М{$Ф),
(п) ?Ф^?ФХ(^?Ф2, где зФх есть С*-алгебра, в которой любая
центральная последовательность тривиальна, а - (ограниченная)
прямая сумма простых С*-алгебр (последовательность Ап зФ
называется центральной, если она ограничена и lim [Ап, В] = 0 для
всех Bei. Центральная по-
П->Оо
следовательность {Ап} называется тривиальной, если существует
ограниченная последовательность {Сп} из центра М(зФ), такая что
lim (Ап - Сп)В - 0 для всех В<=зФ).
Я -> со
Этот результат не распространяется на несепарабельные С*-
алгебры, так как все ограниченные дифференцирования алгебры фон
Неймана порождаются элементами этой алгебры.
Если зФ есть С*-алгебра в гильбертовом пространстве Ж и И -
ограниченный вполне диссипативный оператор на зФ, то существует
вполне положительное отображение К: зФ-*-зФ" и самосопряженные
элементы L, R такие что
-H{A) = i[L, A] + {R, А) + К(А)
для всех А^зФ, где {/?, А) = RA + AR [14]. Заметим, что и
обратно, -i[L, •], -{R, •} и -К(-) порождают вполне по-
оо
~п\ КП на
п=о
ЗФ"'
Таким образом, классификация непрерывных по норме по-
лугрупп является почти завершенной, по крайней мере, если зФ есть
алгебра фон Неймана.
3. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ * -ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Первая трудность, которая встречается при изучении не-
ограниченных дифференцирований, состоит в том, что они могут не
быть замыкаемыми [11], [13]. Поэтому мы ограничимся
рассмотрением замкнутых дифференцирований, однако даже при
этом ограничении единственными бесконечномерными С*-
алгебрами, для которых имеется полная классификация, являются
алгебра &4S (Ж) всех компактных операторов в гильбертовом
пространстве Ж, где всякое дифференцирование б имеет вид 6 =
ad(i'L) с симметричным оператором L [11], и некоторые абелевы С*-
алгебры, допускающие только тривиальные дифференцирования.
Если зФ = С0(?2) есть абелева С*-алгебра со спектром Q, Е^зФ-
проектор и б - замкнутое дифференцирование, то простое
рассуждение [П] показывает, что ЯеО(б) и б(?') = 0. Используя этот
факт, можно показать, что зФ не имеет ненулевых замкнутых
184
У. Браттели
дифференцирований, если ?2 вполне несвязно или даже если ?2 имеет
плотное открытое вполне несвязное подмножество [2]. Класс
локально компактных хаусдорфовых пространств ?2, таких что - С0(?2), допускает только нулевые дифферен
цирования, не охарактеризован, однако известно, что существует
связное компактное хаусдорфово пространство ?2, такое, что С0(?2)
не допускает нетривиальных замкнутых дифференцирований [3]! (В
этом примере ?2 неметризуемо )
В некоторых случаях удается классифицировать обширные
