Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовые случайные процессы и открытые системы" -> 66

Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовые случайные процессы и открытые системы — Москва, 1984. — 220 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviesluchaynostiprocessiiotkritie1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 78 >> Следующая

классы неограниченных дифференцирований. Если б - диф-
ференцирование, то элемент I = I*eD(8) называется регулярным, если
существует состояние со, такое что |со(Х)| = = 11X11 и со(6(Х)) = 0. б
называется квазирегулярным, если внутренность множества
регулярных элементов в D(6)s. а. (множество самосопряженных
элементов в О(б)) плотна в 0(6)s. а.. В частности, производящие
операторы квазирегу- лярны (в самом деле, все I = Z*eD(6)
регулярны, если б - производящий оператор).
Теорема 3.1 [4], [19], [25]. Пусть б - замкнутое диффе-
ренцирование в абелевой С*-алгебре s? = C[Q. 1]. Следующие условия
эквивалентны:
(i) б квазирегулярно;
(ii) 0(6) содержит строго монотонную функцию;
(iii) существует функция А,еС[0, 1] и гомеоморфизм 0 отрезка
[О, 1] ( иначе, *-автоморфизм 0 пространства С [О, 1]), такие что б
является продолжением дифференцирования
боЛ-^-0 0-1.
ах
Известно, что область определения этого дифференцирования не
всегда является сердцевиной для 6 [4], так что эту классификацию
нельзя считать завершенной. Неизвестно, верны ли аналогичные
результаты для С*-алгебры С ([О, 1 ] X
Х[0, 1]).
С*-алгебра s4- называется ДК-алгеброй (почти конечной алгеброй),
если существует возрастающая последовательность конечномерных
подалгебр, таких что (J $Фп плотно в
а [6].
Теорема 3.2 [11], [13], [26]. Пусть 6 - замкнутое *-диф-
ференцирование в AF-алгебре зФ. Тогда существует возрастающая
последовательность {s&"} конечномерных подалгебр S&, такая что [J
плотна в s4- и
U^"sD(6).
П


О динамических полугруппах и действиях компактных групп 185
Для любого п существует Нп е si, такой что
8(А) = [Нп, А]
для А е sin. Поэтому б является аппроксимативно внутренним на [J 6
том смысле, что
6 (Л) = lim [Нп, А]
П
для А е U •
П
Опять-таки [J не всегда является сердцевиной б,
П
и остается открытым вопрос-можно ли выбрать U sin так,
П
чтобы это было сердцевиной, в случае когда б - производящий
оператор.
Таким образом, результаты по общей классификации замкнутых
неограниченных "-дифференцирований носят, можно сказать,
рудиментарный характер, и перспективы не очень обнадеживают.
Однако обе предыдущие теоремы показывают, что ситуация
проясняется, если D(б) фиксируется с самого начала. Классический
пример дают векторные поля на дифференцируемом многообразии Q.
Пусть C°°(Q)-множество бесконечно дифференцируемых функций в
Co(fi); векторным полем называется дифференцирование в С0(й) с
областью определения D(8) - C°°(Q). Хорошо известно, что
локально такое дифференцирование имеет вид
d
д
дхк
к-1 й
где d есть размерность П. Еще более специальный случай получается
при рассмотрении гладкого и эргодичного действия группы Ли G на
абелеву С*-алгебру si. Тогда ассоциированное действие на спектре П
алгебры si транзитивно, т. е. Q является однородным пространством
для G и, в частности, Q есть многообразие. Тогда С°°(й)-
{множество (^-элементов для действия G на si} = р| D ((-3^) ' ('af") 2
•••
". па 1 2
/ д \nd\ д д
-••(¦aij) )' где "" зис для деиствия
алгебры Ли группы G на si.
Некоммутативным аналогом такой ситуации служит С*-алгебра,
на которой гладко и эргодично действует группа Ли G. Гладкость
получается автоматически, если G компактна. Мы будем
рассматривать компактную абелеву группу


186
У. Браттели
G, которая не обязательно является группой Ли. Если т- действие
группы G на С*-алгебру s&, то введем обозначения: ^" = *-алгебра
элементов, п раз дифференцируемых относительно
однопараметрических подгрупп т;
ti=== 1, 2, . . •, оо.
s4-F - *-алгебра G-конечных элементов =
= {А (= s4 |Ст0(А) конечномерно} =
= {Ле,9/|Л имеет конечный спектр Арвесона относительно т}
=
= линейная оболочка Ат(у), y^G, где Лт(у) =
= {Л i= s4- |тг(Л) = (у, g) А} и G - двойственная группа к
G.
Имеем
и все эти *-алгебры плотны в s&. Алгебра s&F более удобна, чем
s&oо, если G не является группой Ли; например, если
оо
G = D = X Z2 - группа Кантора, то о = S&.
Рассмотрим теперь частный случай, когда G - Та есть d-мерный
тор, т эргодично и точно и абелева. Тогда
S& ^ С(Та) и G действует как группа сдвигов. Если ,
k
k= 1, ..., d, есть базис для действия алгебры Ли Rd группы Та на то
любое дифференцирование б: s&F-+s& имеет вид
•-Z
k дх. '
k=.\ k
где Ak^.s4- (причем Ak = - iz~'6 (zk), если про-
k
изводящие операторы, определенные соотношениями
д / п. пч п.\ . п. Пп пм -гг
••• zdd)==tnkzi%2 z/ Для zi 1 =
k
= {z е С || z | = 1}). Если теперь т - эргодическое и точное действие
группы G - Td на произвольной С*-алгебре s4-, то можно по-
прежнему определить производящие операторы
-S- , но теперь легко видеть, что линейная комбинация к
YjAk~d^
к *
является дифференцированием тогда и только тогда, когда Ак
принадлежит центру S&. Таким образом, если s4- проста, то
единственными дифференцированиями такого вида являются
операторы, для которых Ak суть скаляры, т. е. производящие
операторы однопараметрических подгрупп действия Td на
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 78 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed