Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
= Tr {fsA (T) W (t)} = Tr {FA (T) W (I)}- (2.22)
Используя (2.19), мы можем записать обобщение формулы
Вигнера
P(A<=TU ti, A^Tn, tN\W) =
= Tr {fSA (TN, tN)... ?SA(TU h) W). (2.23)
204
Дж. М. Простри
Отметим, что соотношения (2.19) и (2.23) годятся как для
дискретного, так и для непрерывного спектра, где под спектром
наблюдаемой понимается носитель соответствующей т. з. м. РА(Т).
Заметим также, что соотношения
fsA{T\, tp, •••; Т N, tN)~ f SA{Tn, tN) ... ^i) (2.24)
и
F*(T" ...; T", /") ~fTSi(Tv /,) ... fTsJT", t")T (2.25)
задают соответственно о.з.м. и т.з.м. на ^(Rw), причем PA{T\,t\; ...;
TN, tN) сводится к проекционному оператору, только если А -
интеграл движения. Таким образом, наша обобщенная формулировка
позволяет рассматривать с единой точки зрения как одномоментные
измерения, так и последовательности измерений.
Если FA(T) задается соотношением (2.15), a fsAiX)~ со-
отношением (2.16), то формула (2.23) может быть переписана в
терминах плотности вероятности
р(Хj, tp, ...; Лдг, tN\W) =
=Тг{Р(Л",/") ... Р(Я," tx)Wf'{K /,)... f'4XN, tN)}, (2.26) а формула
(2.25)-в терминах плотности тестов
/а(^1> tp, • • •> XN, tN) - f!,{Xj, /()...
... f!,(XN_lt 1> ^v-i) ••• f!>(Xi. ^i). (2.27)
Заметим, что
5 dp (Xx) ...dp (X") p(Xu tp, ...-, XN, tN\W)=l, (2.28)
^ dp(XN) p(Ki, tp, ...; Xfj, tN \ W) = p(Xu tp, ..., XN_U
/дг_11И7),
(2.29)
но в общем
^ dp (Xn) p (A.j, tp, ...; Kn, tn\ .. .; KN, tN\W ) =^=
P(X[, tp, ••.; Xn_i, ^.n+[, tn+p, ...; XN, tff 1W), (2.30)
что отражает направленность времени, вводимую измерением.
Необходимость подобного обобщения квантовой механики
обсуждается в следующем разделе, посвященном явному рас-
смотрению измерительного прибора. Это обсуждение дает также
метод, который в принципе позволяет найти т. з.м.
FA{T) и о. з. м. fsA(T), соответствующие данной измери
Процесс квантового измерения
205
тельной процедуре, если задана т. з. м., описывающая выделенные
свойства прибора.
В заключение этого раздела рассмотрим два очень простых
примера т.з.м., которые будут использованы в дальнейшем. Оба они
относятся к частице с одной степенью свободы. Первая т.з.м.
определяется соотношением
Fx(T)=^d\.i(x)f(x), (2.31а)
т
где
f (л:) = ехр[- а(х - qf], dp (х) = dx, (2.31b)
и отвечает "приближенному измерению координаты". Аналогично,
вторая т.з.м. определяется соотношением
Fxp(T)=\^ff(x, Р), (2.32а)
т
где
f (х, р) = С ехр [-i- (pq - хр)] ехр [- a (f + yfp2)] X
X ехр[- J (рр - хр)] = С ехр {- а [(* - qf + х2{р - Д)2]},
(2.32Ь)
С"1 = Тг {ехр [- а (р2 + к2р2)]}, (2.32с)
и отвечает "приближенному совместному измерению координаты и
импульса". Символы р и р в уравнениях (2.31) и
(2.32) обозначают обычные операторы координаты и им
пульса.
3. ВВЕДЕНИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ПРИБОРА
Теперь мы явно введем в рассмотрение прибор, с помощью
которого над системой производится определенное наблюдение. С
общей точки зрения прибор сам является системой,
взаимодействующей некоторое время с объектом, в результате чего в
ней происходят различные изменения.
Обозначая объект индексом I, а прибор индексом II, запишем
гамильтониан составной системы в виде
н = Н, + н" + tfmt = я0 + tfint. (3.1)
Тогда мы можем описать взаимодействие между I и II как процесс
рассеяния, предполагая, что предел
lim ==t/ (3.2)
tn -f- оо t'
- оо
в смысле слабой или сильной сходимости существует.
206
Дж. М. Проспери
Обозначим Ли положение указателя или любую другую
величину, с помощью которой мы меряем изменение, произо-
шедшее в II, и пусть Fn(T) - соответствующая т. з.м. со-
гласно постулату ii'). Предположим также, что перед взаи-
модействием система II находится в состоянии Wп, а си-
стема I - в состоянии WПусть в момент t0 процесс взаимо-
действия заканчивается и производится наблюдение Ац.
Имеем
Р(Аи<=Т, /01 WiWu) - Tr {^п (Т, /0) UW jW nt/+}, (3.3)
где мы использовали картину взаимодействия, т. е.
Fu (Т, t) = ехр(г'Яп/) Fu (Г) ехр(- iHut).
Принимая во внимание соотношение
е~^0 = 0е~'Ъ'\ (3.4)
которое вытекает из (3.2), мы можем переписать правую часть
уравнения (3.3) в виде
Р(Л"е7\ /0| = Tr1 {Fi (Т, /0)Г,} = Р(Л,еГ, ta\WA,
(3.5
)
где
1*0
>
(3.6
)
очевидно, является т. з.м.; здесь Тг, Тг1 и Тг11 обозначает взятие
следа по Ж = Ж\ (g) Нц, Жх и Жи, гильбертовым пространствам
составной системы, системы I и системы II.
Соотношение (3.5) показывает, что наблюдение величины Ли
над системой II в момент /0 после взаимодействия эквивалентно
описывается как наблюдение величины А, над системой I,
отвечающей, т. з.м. pf(T). Это показывает по существу
согласованность постулатов ii') и v') с достаточно общим
описанием измерительного процесса. Заметим, что, даже если Fu
(Т) - проекторнозначная мера, в общем случае pf (Т)
оказывается тестзиачной мерой, если только на U не налагаются
некоторые очень специальные и нереалистические предположения.
Поэтому исходные постулаты ii) и iv) обычной формулировки
