Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
9(h, to', [0] ) = /(/!, 4>; t0). (6.8)
Кроме того, из уравнения
/(/2, 0; [x(t)])f(tu t0; [x(t)]) = f(t2, t0) [x (/)]), (6.9)
которое вытекает из (5.6) и эквивалентно (4.8), получаем
9 (to, h; [l(t)])9(tx, to) [Ut)]) = %{t2, to, [1(0])- (6.10)
Уравнение (6.10) может быть записано в дифференциальной форме
|г 9 (/, t0) Щ) = Ж (/; [1]) 3 (t, t0) [1]), (6.11)
Процесс квантового измерения
217
где
[?]) = -JrS4/'f а Ш) (6-12)
Вместе с очевидным условием
9 (t0, /о; И)=1, (6.13)
которое вытекает, например, из (6.7), уравнение (6.11) определяет
характеристический оператор по формуле
к, [?]) = Гехр| \dtX(f, [?])J. (6.14)
Явное выражение для инфинитезимального оператора X(/; [?])
может быть получено из уравнения (6.7). Мы получаем соотношение
x{t',mw = -±mt)Am,w]] +
+ jUt){q(t),W}--^-l4t), (6.15)
которое будет далее значительно обобщено.
Наконец, из соотношений (6.3а), (6.5), (6.8), (6.15) и из
соотношения
to, [&])== ^(/" m)X(t- m%{i, t0- ш), (б.ш)
которое следует из (6.14), получаем первые и вторые моменты
(x(l)) = 7r(4(t)9(t,t0)W), (6.17а)
(x(t)x(t')) = -±-6(1-0 +
+ jQ(t-t')Tr(q(t)$(t, П{4(0, ?(/', /")#}) +
+ ±вЦ'-1)7г(НП9(?, 9 (t, k)W}). (6.17b)
Появление дельта-функции в уравнении (6.17Ь) вновь указывает на
то, что случайный процесс (5.24) является обобщенным.
В частности, из уравнения (6.17Ь) получаем
(Дxhf = ((хн - (xh)f) = ~ ^ dth2(t) + t, t
U
+ j dt j da (t) h (п тг M (o - (x (о" x
t. <"
xs v, nmn-w))), t0)W)]. (6.18)
218
Дж. М. Проспери
Полагая h (t) = х(?> I+At) (t) (где х(а> Ь) (О - характеристиче
ская функция интервала (а,Ь)) и устремляя At к нулю, получаем из
(6.18)
(AxJ s* + Тг [у (О - <* (О))2 #]. (6.19)
Заметим, что второе слагаемое в правой части (6.19) есть обычная
дисперсия квантово-механической наблюдаемой координаты;
отметим также, что
(AxhfAt>-^. (6.20)
7. ДРУГИЕ ПРИМЕРЫ НАБЛЮДЕНИЯ
НЕПРЕРЫВНЫХ ТРАЕКТОРИЙ
Мы можем заменить приближенное измерение координаты (2.31)
приближенным совместным измерением координаты и импульса
(2.32) и рассуждать далее совершенно аналогично. Вместо
траекторий [x(t)\ в пространстве R^XR/ мы теперь имеем
траектории [x(t), p(t) ] в пространстве R*p X R<> а вместо
выражения (5.5)-плотность
pUi, to', [х, р]\Ю =
= Тг | Т ехр jj dt [(х (t) - q (t))2 -f х2(р (t) - р О))2] Jw7 X
X г ехр [ - |- 5 dt [(х (t) - 4 (t)f + X2 (р (t) - Р (О)2] j | (7.1)
tp
относительно формальной меры
N
dpa [х, р] = lim^ Д (^dx (**) dP (/,)) ¦ (7.2)
5 = 0
Пространство Е является теперь пространством двухкомпонентных
функций (h(t), k(t)), и используя фейнмановский интеграл в
пространстве фазовых траекторий
(qu t{ | Т ехр | ) di (0- Я Of +
х2(Р (0 - Р (О)2] j I Яо, -
-S П
ta<t<U и
-il(x-q7 + K2(p-p')2]}> (7.3)
Процесс квантового измерения
219
мы можем получить непосредственное обобщение соотношения
(5.23), положив
xh=\)dth{t)x{t), pk = J dtk (t) p (t). (7.4)
Аналогично, характеристический оператор определяется со-
отношением
9 (U> ^о> [!> 'П] = ^
= d\i0 [х, р] f {ti, t0; [x, p]) exp fi dt {U + трэ)1, (7.5)
^0
а производящий оператор имеет вид
л (0)^=-?um im wn+
+ *2i№, im, w)])+YUt){Ht), щ+
+ -j л (0 {P (0. Щ - -if (0 + i Л2 (0) • (7.6)
Соотношение (7.6) представляет особый интерес, так как оно
допускает обобщение на случай наблюдения траекторий при-
ближенного совместного измерения произвольного набора не-
коммутирующих наблюдаемых.
Пусть Аи А2, •••, Ап - набор самосопряженных, не обя-
зательно коммутирующих операторов, Ац-положительная "Хя-
матрица с detА?/ == 1, а Д'7- обратная матрица. Определим
оператор в Т(Ж) соотношением
Ж (с, I(/)) = - J А'7 [Л (0, [Л, (0, • ]] +
+ (7.7)
(где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам),
которое естественным образом обобщает соотношение (7.6).
Покажем, что инфинитезимальный оператор (7.7) определяет о. з. с.
п., который может быть интерпретирован как непрерывное
приближенное измерение величин Аи А2, .., ..., Ап- Заметим
сначала, что, полагая
tt
9(tlt t0; [!]) = Т ехр \dtx (/;|(/)), (7.8)
П [("Г^ЦД^]Х
X 9 {ti, t0\ [I(01)exp ' S dtS7 (0 xl (oj • (7.9)
220
Дж. М. Проспери
f(h, t0; N}') =
= S n[(ir) dXl^ ••• dxn^)\f^b to, [*(/)]), (7.10)
лф *
ro
мы получаем величины, удовлетворяющие уравнениям (6.10), (6.9) и
(4.8). Далее, подставляя (7.9) в (7.10), получаем отображение
/(/" to; ЕГ) = 9(1и t0; [0]) =
= 7'ехр|-|Дг7 \ еН[АМ [Al(t), ]] | (7.11)
которое, очевидно, сохраняет след. Наконец f(t
+ e, t; [x])W =
= (т-)" 2 тгйр- S dV • • • dg"exP S - te'xiV)) & =
= t)Wfl'(x, t), (7.12)
где
/e(x* /) = ехр[- Ye (*,(/) - Л,(/))A,;("/(/) - Л/(/))]. (7.13)
Из соотношений (6.9), (7.12) вытекает, что отображение
f(tu to; [х]) положительно; этим доказательство нашего ут-
верждения завершается.
Соотношение (7.7), однако, еще не дает самую общую форму
производящего оператора, для которого (7.8) - (7.10) определяют о.
з. с. п. Несколько более общий класс дается формулой
X(t; !(/))=#(/) + Ц> (/) "Я, (0 - JLg* (t)Atilt (/), (7.14)
