Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
пространстве. Пер. с франц.--М.: Мир, 1970.
14. Varilly J. С. Dilation of a Non-Quasifree Dissipative Evolution, Lett. Math. Phys., 5
(1981), 113-116.
15*. Kiimmerer B. Markov Dilations on W*-Algebras, J. Funct. Anal., 63 (1985), 139-
177.
16*. Kiimmerer B., Schroder W. A new construction of unitary dilations: singular
coupling to white noise, Lect. Notes Math., 1136 (1985); 332- 347.
17*. Frigerio A. Covariant Markov dilations of quantum dynamical semigroups, Publ.
RIMS Kyoto Univ., 21 (1985), 657-675.
18*. Alicki R., Fannes M. Dilations of quantum dynamical semigroups with classical
Brownian motion. Lett. Math. Phys., 11 (1986), 259-262.
О ДИНАМИЧЕСКИХ ПОЛУГРУППАХ И ДЕЙСТВИЯХ
КОМПАКТНЫХ ГРУПП1*2"
Ула Браттели Институт математики, Трондхеймский университет,
Трондхейм, Норвегия
ВВЕДЕНИЕ
Пусть s4-- С*-алгебра или алгебра фон Неймана. Если, S&
представляет наблюдаемые некоторой физической системы, то
временная эволюция системы часто может быть задана динамической
полугруппой на s& [18]. В частном случае обратимой эволюции
динамическая полугруппа может быть продолжена до
однопараметрической группы автоморфизмов s&. В этой статье мы
рассмотрим проблему классификации динамических полугрупп и
групп автоморфизмов, а также их производящих операторов, почти не
затрагивая вопрос о физическом происхождении этих полугрупп.
Приведем основные определения: отображение t-^-St множества
неотрицательных вещественных чисел в множестве ограниченных
линейных операторов из s& в называется полугруппой, если 50 = 1 и
Sr+s = StSs для t, s ^ 0. Если s& - С*-алгебра, полугруппа всегда
предполагается сильно непрерывной, т. е. отображение непрерывно по
норме для любого A^s4-. Если s& - алгебра фон Неймана, то всегда
предполагается, что отображение A-*-St (А) о-слабо непрерывно для
любого (^0 и что отображение t-*-St(A) о-слабо непрерывно для
любого Производящий опе
ратор Н полугруппы 5 определяется как оператор с областью
определения'"
D(#) = |У4 е | lim -|-(Л - 5г(Л)) существует|,
так что
t-ю 1
J) Bratteli О. On dynamical semigroups and compact group actions. - In: Lect.
Notes in Math., v. 1055, Springer-Verlag, 1984, p. 46-61.
2) По существу здесь дается определение инфинитезимального оператора.
Производящим оператором называется замыкание инфинитезимального оператора,
если оно существует. Поскольку далее рассматривается замыкаемый случай, речь
всюду идет о производящем операторе. - Прим. перев.
О динамических полугруппах и действиях компактных групп 181
где пределы берутся в топологии нормы, если зФ есть С*-ал- гебра и
в a-слабой топологии, если $Ф- алгебра фон Неймана. Множество
D(H) плотно в^в подходящей топологии, и мы пишем St - e~tH [15].
Полугруппа St называется динамической полугруппой, если
каждый St является вполне положительным сжатием, т. е. St (r) 1
положителен и имеет норму ^ 1 как оператор на ?ф (r) Мп для любого
п, где Мп- С*-алгебра комплексных п X "-матриц. St называется
группой автоморфизмов, если каждый St является "-автоморфизмом
$Ф. Это сводится к тому, что каждый St обратим и как St, так и Sf1
являются вполне положительными сжатиями [11]. В этом случае
можно расширить определение St на 1g R, полагая S_i=Sr1, и тогда
St+s = StSs для всех t, seR.
Конечно, можно рассматривать и более общие классы полугрупп,
например положительные или сильно положительные полугруппы.
Мы не будем здесь этого делать по двум причинам: эти более общие
случаи редко возникают в физических приложениях и о них не так
много известно. Некоторые подробности можно найти в [5], [7], [12].
Если S - группа автоморфизмов, то ее производящий оператор Я
является *-дифференцированием, т. е. D(H) есть "-алгебра, и И
(АВ) = И (А) В + АН (В), Н{А*)=Н{А)* для всех A,
B^D(H). Если Н - производящий оператор динамической
полугруппы, то D(H) замкнуто относительно действия инволюции и
Я(Л*)=Я(Л)*, но D{H) не обязательно является алгеброй; вообще Я
(Я) может не содержать "-алгебры, являющейся сердцевиной для Я
[12]. Однако если Хи ..., Хп - элементы D(H), такие что
Х]Х^О{Н) для всех i, j, то имеет место неравенство для п X "-
матриц
\Н(Х)-Х, + Х\Н(Х1)~Н(Г1Х,)\>Ч,
следующее из обобщенного неравенства Шварца. Оператор Я,
определенный на "-алгебре D(H) и удовлетворяющий таким
матричным неравенствам, называется вполне диссипативным. Одним
из препятствий для изучения динамических полугрупп является то
обстоятельство, что их производящие операторы не всегда вполне
диссипативны, т. е. D(H) не всегда алгебра.
Эта работа построена следующим образом: в разд. 2 мы излагаем
довольно полную классификацию полугрупп, непрерывных по норме,
т. е. таких, для которых оператор Я ограничен. В разд. 3 мы сначала
упоминаем о скорее неудовлетворительных попытках классификации
всех замкнутых дифференцирований на некоторых С*-алгебрах.
Затем мы показываем, что если С*-алгебра снабжена некоторой
