Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
если Ep-{ai < ... <av}. Остается доказать, что П Ефр (Uk)
-> ехр Aw t
k<=Ep P
Таким образом, все может быть сведено к случаю
ф(д:) = xw'(Т, 0)(r) ... xwHT, 0), в
обозначениях леммы 2.1.
и достаточно рассмотреть эквидистантное разбиение z: Tk -
- jj-T, k = 0, N. Тогда Еф(Дг) = (?'ф(Д1))Л', и с по
150
В. фон Вальденфслс
мощью леммы 3.2 получаем
Еф({/[) = Е [(ехр Ax)w' (r) ... (r) (ехр Ay)Wn\ - Е$,
а=1 -1? (лг*)2 + Е <Е К* (r) ЛГ0+R=
fc-i А<;
= 1 + ^ -дг + R,
где
|| ^ || < ecr'w - 1 -С^<4 C2T2I N2eCT/N, причем С
= п2у|| А11|. Поэтому Eqp(Hz) -> ехр y&wT, где
Я. =~тЁ (а(tm)*)2 + ? ти, ;Е (а"* (r) а(tm)')
к -! k < I
и а = А[Ь + А2й\ Здесь 6, 6' - элементы, порождающие' ЯВ(О), [ft,
&'] = 1, Eftft* = 1 + 0. Если учесть, что а = А'Ь* + -f А26, то легко
получается, что y3§w = Теорема доказана.
Я благодарен Л Аккарди за продолжительные и плодо творные
обсуждения. Выражаю также признательность А. ван Энтер, Ф.
Хааке, Г. Хегерфельдту и Дж ван Хеммену за стимулирующие
беседы.
Литература *)
1. Accardi L., Cecchini С. Conditional Expectations in von Neumann algebras and a theorem of Takesaki, J. Funct. Analysis, 45 (1982), 245-273.
2. Cockroft A. М., Hudson R. L. Quantum mechanical Wiener process, J.
Multivariate Analysis, 7 (1977), 107-124.
3. G'ri N., Waldenfels W. V. An algebraic version of the central limit theorem, Z,
Wahrscheiniichkeitstheorie verw. Gebiete, 42 (1978), 129-134.
4. Haake F. Statistical treatment of open systems by
generalized master
equations. Springer Tracts in Modern Physics, 66. Springer-Verlag:
Berlin, Heidelberg, New York (1973).
5. Haken H. Laser theory. Handbuch fur Physik, vol. XXV/2c. Springer Ver- lag:
Berlin, Heidelberg, New York (1970).
6. Ion P. D. F., Waldenfels W. V. Zeitgeordnete Moniente des weissen klas- siscben
und des weissen Quantenrauschens. In: Probability measures on Groups, p. 212,
Proceedings, Oberwolfach 1981. Ed. H. Heyer. Lect. Notes Math., 928. Spr nger
Verlag: Berlin, Heidelberg, New York (1982).
7. Neveu J. Processus aleatoires gaussiens. Les Presses de Tliniversite de Montreal,
1968.
8. Sakai S. C*-Algebras and W*-Algebras. Ergebnisse der Mathematik und ihrer
Grenzgebicte. Band 60, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1971.
"') Звездочкой отмечены работы, добавленные при переводе. - Прим. перев.
Решение в смысле Ито
151
9. Umegaki Н. Conditional expectation in an operator algebra, Tohoku Math. J., 6
(1954), 177-181.
10. Waldenfels W. V. Light emission and absorption as a quantum stochastic process.
Sonderforschungsbereich 123. Preprint N 176. Universitat
Heidelberg, 1982.
11. Waldenfels W. V. Stratonovich solution of the quantum stochastic differential
equation describing light emission and absorption, Lect. Notes Math., 1109 (1984),
155.
12*. Waldenfels W. V. Spontaneous light emission described by a quantum stochastic
differential equation. Lect. Notes Math., 1136 (1985), 516- 534.
13*. Maassen H. Quantum Markov processes on Fock space described by integral kernels.
Lect. Notes Math., 1136 (1985, 361-374.
ИЕРАРХИЯ СВОСТВ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ ДЛЯ
НЕКОММУТАТИВНЫХ К- СИСТЕМ 1
В. Шрёдер
Математический институт, Тюбингенский университет
Тюбинген, ФРГ
Резюме. Для ^-/(-системы, являющейся некоммутативным
обобщением классического понятия /(-системы, вводится иерархия
свойств перемешивания, включающая понятие перемешивания
произвольного порядка. С помощью подходящего модулярного
оператора ГНС-конструкция для ^-/(-системы приводит к аналогу /(-
системы в гильбертовом пространстве и, таким образом, к лебегову
спектру. В заключение обсуждается некоторый класс примеров,
основанных на квазисвободных состояниях канонических
антикоммутацион- ных соотношений.
1. ВВЕДЕНИЕ
Понятие /(-системы, введенное А. Н. Колмогоровым [7] в 1958 г.,
открыло новые возможности для изучения преобразований,
сохраняющих меру: вероятностные идеи, развитые для стационарных
случайных процессов, были перене,- сены в эргодическую теорию
(ср. [14]).
Определение (см., например, [3], [7]). Пусть (Q, 2, р)-
вероятностное пространство и <f> - представление группы "f = R
или T = Z взаимно однозначными измеримыми преобразованиями Q,
сохраняющими меру р. Предположим, что существует о-подалгебра
2к с 2, такая что
для всех О,
0}=Е, т. е. 2 порождается о-подалгебрами
фЛк, t> О,
и, наконец, имеет место следующее обобщение закона нуля -
единицы:
n {ф?ки^0) = {ф, Q}.
Тогда (Q, 2, р, ф; 2к) называется К-системой.
Schroder W. A hierarchy of mixing properties for non-commutative А-systems.
In: Lect. Notes on Math., Springer-Verlag, v. 1055, 1984, p. 340- 351,
Иерархия свойств перемешивания для некоммутативных К-систем 153
Плодотворность этого понятия в эргодической теории
обусловлена не только его тесной связью с понятием энтропии
Колмогорова - Синая, но и хорошими свойствами перемешивания /(-
