Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
матриц. В частности, получено непрерывное марковское расширение некоторой
полугруппы неквазисвободных отображений.
1. ВВЕДЕНИЕ
В этом разделе дается мотивировка для изучения расширений на
И?*-алгебрах и краткий обзор современного состояния теории. Затем
формулируются основные определения и строится пример для
дальнейшего обсуждения.
1.1. Мотивировка
Изучение расширений вполне положительных отображений в И?*-
алгебрах представляет интерес по крайней мере для трех областей:
теории унитарных расширений в гильбертовом пространстве, теории
случайных процессов и физики необратимых процессов.
Унитарные расширения сжатий в гильбертовом пространстве
представляют собой блестящий пример метода расширений в
функциональном анализе и стимулируют его дальнейшее развитие.
Унитарные расширения дают мощный инструмент в изучении
структуры и спектральной теории несамосопряженных сжатий в
гильбертовом пространстве (см. монографию [13]), и расширения
вполне положительных отображений в И?*-алгебрах могут оказаться
полезными в анализе таких отображений
Построение и изучение случайных процессов является важным
аспектом теории вероятностей. Определение случайного
стационарного процесса, отвечающего полугруппе дважды
стохастических переходных операторов, получается из нашего
определения расширения в п. 1.3, если все рассматриваемые И?*-
алгебры являются коммутативными. С этой точки зрения
некоммутативная теория расширений может рассматриваться как
составная часть некоммутативной теории веро-
') Kiimmerer В. Examples of Markov dilations over the 2X2 matrices In: Lect. Notes
in Math., v. 1055, Springer-Verlag, 1984, p. 228-244.
164
Б. Кюнмерер
ятностей, где расширение рассматривается как некоммутативный (или
квантовый) случайный процесс.
В квантовой статистической механике обычно принимается, что
необратимая эволюция может быть математически описана
полугруппой вполне положительных отображений в С*-алгебре. В
этом контексте расширение рассматриваемой полугруппы можно
считать частичным описанием окружения данной необратимой
квантовой системы, и, таким образом, расширения могут быть
использованы для получения некоторых представлений о механизме
необратимости.
1.2. Ретроспективный обзор
В коммутативных Й^-алгебрах расширение можно по-' строить
для любой однопараметрической полугруппы вполне положительных
дважды стохастических операторов. В теории вероятностей это
известно как колмогоровская реконструкция случайного процесса по
его переходным вероятностям. В терминах функционального анализа
это построение было проведено в [6].
Если №*-алгебра некоммутативна, то построение расширений
оказывается более сложным. На алгебрах канонических
коммутационных и антикоммутационных соотношений (ККС и КАС)
квазисвободные вполне положительные отображения получаются
действием функтора вторичного квантования из сжатий в
("одночастичном") гильбертовом пространстве. Этот функтор,
примененный к унитарному расширению исходного сжатия, приводит
к расширениям этих отображений, см. [2], [4]. В работе [1] Аккарди,
Фриджерио и Льюис развили теорию возмущений для расширений,
которая при применении к квазисвободным отображениям дает
расширение некоторых возмущений квазисвободных отображений.
В работе [8] мы начали исследования по общей теории
расширений, которые вскрыли тесную связь между вполне
положительным отображением и его минимальным марковским
расширением, существенно обусловленную свойством марковости,
как указывалось в примере из работы [14]. Мы показали, как строятся
марковские расширения для большого класса вполне положительных
отображений.
В настоящей статье мы рассмотрим некоторые расширения над 2
X 2-матрицами. Хотя этот случай и является частным, все результаты
и их интерпретацию можно принять за образец и значительно
обобщить. В частности, это относится к непрерывному расширению,
полученному в разд. 4. Оно указывает метод нахождения
непрерывных марковских расширений, тогда как построение работы
[8] применимо только к дискретному случаю.
Примеры марковских расширений над 2 X 2-матрицами 165
Наша работа основывается на статьях [8] - [11], и я хотел бы
воспользоваться возможностью поблагодарить В. Шрёдера за
плодотворное сотрудничество, приведшее к появлению работ [9], [10]
(и не только их).
1.3. Определения
Рассмотрим пару (21, ф), где 21 является 1Е*-алгеброй, а ф -
точное нормальное состояние на 21. Морфизм Т: (211( Ф1)->(212, ф2)
- это сохраняющее единицу вполне положительное отображение 211-
>212, такое что 7"ф2 = ф1. Отсюда вытекает, что Т нормально.
Морфизм Г: (21, ф)->(21, ф) называется морфизмом пары (21, ф).
Морфизм Я:(21ь ф1)->(212, Ф2) называется условным ожиданием,
если существует (с необходимостью единственное) вложение 1: (212,
Ф2)->(211, ф[), такое что Р • i = IdJ(2. В частном случае, когда 2l2 ^
2tIs ф2 = = ф1|я2, оператор Р является условным ожиданием в обычном
