Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
= T'jv-г = Tjv, и < TN, j ... Тл/, уд, = Tjv = TJ (26)
146
В. фон Вальденфелс
- более мелкое разбиение. Тогда аналогично (25)
ф(?/г') = Флг ... ф,, (27)
где
tt = <Q(Uk, VJ • • • 4>(Uk, i). (28)
Поскольку cp* и ф* унитарны, то
|| Е (ф (U2) - ф (?/*))* (Ф (^) - Ф (t/г')) II =
= ||2-Е(Ф; ... ф>" ... +)-Е(...)*||. (29)
Для х e(Cdx d)(r) " положим
Wk{X)=--^k. (30)
Таким образом, Wk переводит (Cd х d)(r) "-матрицу в ограниченный
оператор на (Cd)(r)"<8>F(H). Следовательно, EIF*. переводит
(Cdxd)(r)"-матрицу в такую же матрицу. В силу независимости,
Е(ф; ... Ф;>-... ф,) = (ег,)... (Erv)(i), (31)
где 1 обозначает (nd)-единичную матрицу.
Определим Хк соотношением
ЕГ,(1) = ЕФ*А=1 -Хк. i
32)
Тогда (29) переходит в
И((Л+ (ЕГ,)Л + ...
... + (ЕГ,) ... (Е1^"_1)(ад + (...)•". (33)
Согласно п. (iv) предложения 2.1,
(Е Wk (Х)У (Е Wk (X)) < Е Wk (ХУ Wk (X),
а по следствию из этого предложения
1КЕИ7*)(X) |р = || ЕГ* (Л* (X)|| < || ЕWk(XyWk(X)|| =
= IЕ WX% II < II Х'Х II еч>;ч"а II = II х II2.
Таким образом, окончательно
||ЕИ7Л(Л1К1|Л1 (.34)
и (33) дает
IIЕ (ф (t/гЬ-ф(ВД* (ф( Uг)-ф (ВД II < 2 (II Xt ||+ ... +|| XN II), (35)
где остается вычислить ИЛИ-
Имеем
ФА = Ф^ ... ф?>, (36)
Решение в смысле Ито
147
где
Фл = ехрл/(т^Лл) = ехр5(/), (37)
^ = ^f\[si, t/]n[Tk-UTk]\. (38)
Аналогично
¦ф* = фй, V* ••• ф4, 1, (39)
где
Ф*."= 44V ¦ ¦ (40)
Фf,i = ехР + К'.' Л, г) = ехр В'/", (41)
т*-' ^-Д^Т1 'А П Vk. i-u Тк, i] |. (42)
Применим лемму 3.2 к выражению Еср*ф и покажем, что в
соответствующем разложении все члены первого, второго и третьего
порядка исчезают. Поскольку все нечетные члены равны нулю,
следует рассмотреть только члены второго порядка. Имеем
Ф; = 1 - ? в(а> + у ? в(а)2 + ? ямя") + ..,
а а>(5
= 1+ 5 + 1 В2 + у ? [В<а). fi<f5)] + ••••
где В = X В'
,(/)
а>р
И
= ехр Bv} ... ехр Bvij =
= ехр Bi" ... ехр в[п) -
= 1 + J] B(va) + 1(в'Р))2 + J] B(ra)Bf + ... =
(г, a)<(s, Р)
= 1 + в + 1в2 + | [в(Д в?"] + ...,
(л, a)<(j, Р)
где (г, a)<(s, Р) означает, что множитель, содержащий В?Ч находится
левее множителя, содержащего BfK Мы здесь использовали то
обстоятельство, что В(а)= ? Вга). Тогда
i
=1 + т Z [B<a)' s'p,] + т Z 1в'а)' + ¦ • *
а>Р (г, a)<(s, Р)
И
Ея>А = 1 + т Е "Wfl + l Е Е[В}Ч,ву>]+
а>р, I а<р. I
= !+#*>
148
В. фон Вальденфелб
так что члены первого, второго и третьего порядка равны нулю.
Применяя лемму 3.2, получим после некоторых вычислений
С2 д т2
II Rk II - II Хк II ^ ехр С ATk - I - CATk^. -^-- exp С АТк, (43)
где
С = 2у (1 + 20) п21| Л11|2. (44)
Окончательно правая часть в (35) мажорируется величиной
? С2 АТ\ ехр С ДTk < С2Т || 21| ехр С|| 21|, (45)
и лемма доказана.
Пусть 2 - разбиение отрезка [0,7'). Оператор Uz(t,s) определяет
состояние яг на Ж {Од). При ||г||->-0 из последней леммы следует,
что яг(/) сходятся к состоянию я (/) на X'(Q), которое вычисляется в
следующей теореме.
Теорема. Пусть ||2||->-0, тогда состояние яг, отвечающее
процессу Uz(t), слабо сходится на Ж (Cl) к состоянию я,
описывающему квантовый аналог случайного процесса на U (d)
с независимыми приращениями. Соответствующая полугруппа
(<B/)/3so дается соотношением (<в*)(хш) = ехр s$w (/), для = ...
(r)*(r)", где
= Y ^((1 +е)лм2 + елм1) +
+ i Y Ла (0Л1 Л2 -ь (1 +0) Л2Л1) +
М"
+ ? WO+ем'(r)л2 + ел2(r) л') +
k<l\ k, 1<=М'
+ ? Л*. i (O-^i (r) ^2 ~h (1 "Ь Л2 (r) Л1) +
k<l\ k. 1<=М"
+ ? тц./((1 + 0М1(r)Л'1 + ел2(r)ла)
+
k<l\ ? <= М\ I г М"
+ ? Л*. г (б^1 (r) Л1 + (1 + 0) Л2 (r) Л2)),
6 <= М", l&M'
причем
М' = {i = 1, ..п: W[ - 1}, М"
= {/ = 1, ..., п: wt - 2}.
Доказательство. Возвращаясь к лемме 2.1, положим
ф = xw'(tii, S/i)(r) ... (r)xw"(t/n, sia), где
Si < tx < s2 < t2 • • • < sr < tr.
Решение в смысле Ито
149
Достаточно доказать сходимость пг к л на функциях такого вида.
По лемме 4.1 и неравенству Шварца достаточно рассматривать лишь
разбиения, которые являются более мелкими, чем разбиение
2о = {0 ^ S| < /[ ^ s2 < t2 ... ^ sr < tT ^ Т).
Пусть z={7'o = 0<7'i ... <TN = T} разбиение, такое что z < г0. Тогда,
согласно (26), ф(Дг) = ф(Дл') ... ф(?Д) и, в силу независимости,
Еф(Uz) = Еф(Un) ... Еф(Д1). Разобьем множество {1, ..., N) на
подмножества следующим образом. Пусть Ер, р = 1, ..., г, -
множество всех k = \, ..., N, таких что \Tk-i,Tk[ содержится в [sp,/p[,
и пусть Е0-множество k, таких что \Тk-\, Тk[ не содержится в каком-
либо из отрезков [Sp,tp\, р= 1, ..., г, и, таким образом, не пересе-
кается ни с одним из этих отрезков. Тогда множества Ер, р -
- 0,1, ..., г, попарно не пересекаются и их объединение
совпадает с {1, ..., N). Имеем
,, ,, , f ехР ^ е Ер,
UkVp sp) -\ 1, k<?Ep.
Поэтому Еф(Uk) в обозначениях леммы 2.1 имеет вид т]мрС, где С
- некоторая матрица. Следовательно, Еф(?Д) коммутируют, если k
принадлежит различным Мр Отсюда
Е(Дг) = П П ЕфД/*) = П>Р П ЕФ(ДД
р~1 fee Ер р=1 keiEp
где
Фр (х) = Xw°l (tp - Sp) (r) ... xWa'> (tp - Sp),
