Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
d
a~Y utu*eHu
i=l
и
d.
Л'аЛ = Y aiA',ueHuA= Y ai(euuAY(euuA).
i-l i
Остается применить (iii).
Пусть 5 = "С <x,-, i'e/>- свободная алгебра с единицей Ь,
порождаемая элементами X/, i s /, надмножеством комплексных
чисел, т. е. алгебра всех некоммутативных многочленов от Xi.
Гомоморфизм г] алгебры В в алгебру И определяется заданием
образов тДх;)- Мы отразим это в обозначениях:
TJ: хг->т!(х,), / ^ S >-з- / ((Ч (-^i)i
Пусть (Pj)j е / - семейство многочленов в В- Алгебра, порождаемая
элементами (x;)ie=y с определяющими соотношениями Р/(х,-, i s/) = 0,
/ s/, является факторалгеброй свободной алгебры "СХхи i^-1) по
идеалу Л, порожденному Р1г j е У. Положим
х( = х( + А.
Пусть 91 - другая алгебра, порождаемая элементами (аг)(е/.
Отображение ц: х,->аг продолжается до гомоморфизма алгебры,
порождаемой элементами х,- с определяющими соотношениями Pj
(х,-, '/ s /) = 0, если а/ удовлетворяют этим же соотношениям, т. е.
Р/(а<, /е/) = 0 для всех /еУ, Обозначим этот гомоморфизм хгн-з-аг, is/.
Свободная *-алгебра, порождаемая элементами (х;)геу - это
свободная алгебра, порождаемая элементами xlt xt, i^I, с инволюцией
хгн^-х,-, х, >х(. Пусть Р,, j s У - семейство многочленов в свободной
"-алгебре, порождаемой xt, i^I. Тогда "-алгебра, порождаемая
элементами х<, is/, с соотношениями Р/_(хц i^J) = 0 является
факторалгеброй
Решение в смысле Ито
133
свободной "-алгебры, порождаемой x<, i е У, по "-идеалу А,
порождаемому Р/, j е J.
Теперь мы собираемся обобщить понятие вероятностной меры на
U(d) на квантовый случай. Вероятностная мера р на U(d) может быть
определена как состояние на C(U(d)), С*-алгебре всех непрерывных
функций на U(d). Как отмечалось в разд. 1, "-подалгебра K(U(d)),
порожденная функциями
hk" u^U(d)-*uik, \ik\ ue=U(d)->aik,
плотна в C(U(d)). Поэтому вероятностная мера на U(d) может
рассматриваться как состояние на K(U(d)).
Квантовым аналогом K(U(d)) является "-алгебра X'(U(d)),
порождаемая элементами xik, i,k = 1, d, с определяющими
соотношениями
2 xlkxik = &l], 2 xkiXjtj =
Обозначим через л: Ж (U (d))dxd-матрицу (xt, к), тогда эти со-
отношения записываются в виде
хх* - х'х - 1.
Квантовым аналогом вероятностной меры на U(d) является состояние
на X(U(d)).
Отображение xik <= X(U(d) )-> lik <= К(U(d)) определяет "-
гомоморфизм г) из yf(U(d)) в K(U(d)). Поэтому если р - состояние
на K{U{d)), то функционал р°ц является состоянием на j^(U(d)).
Рассмотрим другой типичный пример. Пусть Ж- гильбертово
пространство (в физическом контексте оно может описывать
тепловой резервуар), и пусть U - унитарный оператор в .С.а(r)Ж.
Тогда U может быть записан в виде
U--Yuei. k(r)Uik> U ik ^ В (Ж).
Соотношения UU* = U*U= 1 означают, что отображение Xik-^Utk
может быть продолжено до гомоморфизма алгебры yA{U(d)) в В (Ж),
С*-алгебру всех ограниченных операторов в Ж. Запишем этот
гомоморфизм в виде
fe=X(U (d)) н-s- / (U) e В (Ж).
Пусть р - оператор плотности в Ж. Тогда соотношение
ft=X(U(d))^TrPf(U)
задает состояние на X(U(d)).
Нетрудно ввести норму N на Ж{U(d)), которая превращает
Ж(U(d)) в нормированную алгебру, а после пополнения-в С*-
алгебру. Положим N(f) - sup {Цц (/) ||}, где г) про
134
В. фон Вальденфелс
бегает всевозможные "-гомоморфизмы алгебры .X{U(d)) в С*-
алгебры. Имеем N(f)<Z°°, поскольку N (xik) ^ 1 для всех i, k.
"-алгебра Ж {U (d)) порождается одночленами
где wt - 1, 2 и x\k = xik, x% = Xik- Эти элементы являются
компонентами тензорной матрицы
ЭД W, л ^ W
х = х ' . <8) х п,
где х1 - х, х2 - х. Таким образом,
W W. й2-'
х = L ег,*, (r) • • ¦ (r)einkn(r) Xixk^ ... Xinkn.
Если а - линейный функционал на X(U(d)), то аЦ'Е') есть
следующая матрица:
( тп шп \ ( тЦ
° \Xl\k\ ••• XUkn)^<X ) =
E
W. W
eilki(r)...(r)einhax{^ ... xtnkn.
Таким образом, а определяется заданием всех матриц a(xw).
Пусть а и Р- два линейных функционала на X(U(d)). Определим
свертку а*р следующим образом: рассмотрим "-гомоморфизм
А: (U(d)) -> X(U(d))(r)X(U(d)),
порождаемый отображениями
xik~+ Z хц (r) xjk> xik~* Е x*n(r)xik>
и положим
а*р=(а(r)р)оЛ,
тогда имеем
(a* §){xw) = a(xw)$(xw).
Из этой формулы легко получить, что свертка ассоциативна и что
функционал бь я,-*-"-б;*. является единицей для свертки.
Если (л,)(ер+ -сверточная полугруппа линейных функционалов
на Ж (U (d)), т. е. я0 = б,, я^+< = я5*яг, и если / ->¦ лу (/)
непрерывно для любой / е Ж (U (d)), то nt(xw) = = ехр $i-wt для
некоторой (С<гхй)<8"-матрицы s4-w. Совокупность всех матриц $t-w
однозначно характеризует полугруппу nt.
Классический процесс приращений на U(d) определяется
вероятностной мерой на компактном подмножестве Q ком
Решение в смысле Ито
135
пактного пространства t/(d)R+xR+, задаваемом соотношением
Q = {и : R+ XR+ U(d.): u(t, /)=1, u(t, s) = u(s, t),
u(t, s)u(s, r) = u(t, г) для всех r, s, (eR+).
Пусть K(Q) есть "-алгебра функций на Q, порождаемая функциями
lik(t, s): u->uik(l, s), i, k = 1, ..d\ t, ssR+.
