Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовые случайные процессы и открытые системы" -> 51

Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовые случайные процессы и открытые системы — Москва, 1984. — 220 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviesluchaynostiprocessiiotkritie1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 78 >> Следующая

aqk == 1 I =|| ^ft||"
~ 2 a?ft>
<7
^ (0 = ? Л/ = exp 4 (1 + 20) ? at
Тогда || Fn II ^ F для n - 0, 1, 2, ....
Доказательство. По определению (*) и лемме 3.1 для t :> 0
имеем


142
В. фон Вальденфелс
где порядок суммирования существен. Далее,
Л{> ... Арр = М{М2 где N - ... + ip
и Мх = А{, ..., Ми = Л,, Mii+l = Л2, ...
м,=|]в;А+в;л=(Д!еу"
и bk = bk' 4 = К- Поэтому
¦••""-= 2, 2 ¦ ¦ ¦ вад
а1 aW * 1 w
и для операторных норм Сйхй-матриц имеет место оценка ||</ь и М, ...
MN | /") II <
ln\bk\...bNkN\i, 1Ы)'
1 п
aN
поскольку ^ {/} | bak' ... bakNN | {/}^}^ 0. Обозначая
V = I^1 = II^I' ?=1 N' k=l
перепишем сумму в виде
k с\, ft, * • • cjv, kNQi' • • •> L | bkt - • • bkN\^i ^n)'
где bk - bk~\- b'k. Поскольку bk коммутируют, последняя сумма
равна
(h U(2>i.A) ••• I(%A)Ubin)=
= (/i> ln\K' Kp^1 1")'
где A,? = X) я? А- Поэтому
00 °0 I -L A-i
{/} i,-o ip~ о
х||<й|л|'... лу|w>|<


Решение в смысле Ито
143
Поскольку Ьк независимы относительно уе, то Y
(У*) = П Ye (У0***)
л-i
Ye (УаЛ) = ехр-?-(1+2Q)at,
так что
Ye (*а) = ехР Т (1 + 20) 2 аь-
4. РЕШЕНИЕ КВАНТОВОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ
МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО ИНТЕГРАЛА ИТО
Мы будем решать дифференциальное уравнение (1), где
A(t) дается соотношением (2), a F(t) определяется условия-
ми (3), (4), или в другой форме
[F(f), nff)] = Y</, 8), (5)
EF(f)F'(g) = (\ +0)y</, g), (6)
где f,geL2(R). Операторы F(f), F* (/) были строго опреде-
лены в разд. 3 как элементы алгебры 2B(L2(R)),
математи-
ческое ожидание Е соответствует гауссову функционалу у9.
Поскольку, по-видимому, не существует прямого способа
определения решения уравнения (1), мы будем искать не-
которое приближение, а затем докажем его сходимость. Фик-
сируем его отрезок [О, Т] и разбиение
2 = {7'о = 0<7'1< ...<TN = T}.
Обозначим
Положим
k - Тк Тк_ [,
|| г || = max {АТк : k = 1,
%k=l]Tk-v Ч\
тк
Fk = F(xk)= J F(l)dl
Тк-У
щ.
(7)
(7)
О)
(Ю)
(И)
Поскольку
К
Ak= J A(t)dt = A'Fk + A*rk.
' ft-1
[Fk, F\\ = yATk6kl,
EV; = (1+0)AVW,
(12)
(13)
(14)


144
В. фон Вальденфелс
элементы
(15)
порождают "-подалгебру 2B(L2(0, Т)), изоморфную 2B(CW).
Поскольку
Ev>;=(i+e)6w, (16)
то математическое ожидание Е определяет на 2B(CW) гауссов
функционал уе. Переходя к фоковскому представлению, будем
рассматривать Ьк и Fk как операторы на TS(C,N). Положим
Az(t) = -щАк (17)
для Тk-i < t ^ Тk. Тогда решением дифференциального уравнения
~ I/, (0 = Л, (0 ?/,(/), и А 0)=1 (18)
является функция, равная
t 74
Я2(/) = ехр Лйехр Лй_, ...expАг (19)
при Tk-i^t<Tk< а экспоненты, определенные в лемме 3.1, являются
унитарными операторами в F(CN)(r) ?>/. Фиксируем состояние уе на
B(F(CN)), тогда функция Uz(t), как было объяснено в разд. 2,
определяет квантовый аналог случайного процесса. Мы докажем
сходимость семейства процессов Uz(t) при ||z||->0.
Нам понадобятся некоторые общие факты. Пусть Я- ко-
нечномерное гильбертово пространство и Н'cz Н - его под-
пространство. Тогда F (Я) = F(FI')(r) F (Я (c) Н'), B(F(H)) = -
B{F{H')Q$> В {F{H (c) FI')). Мы можем вложить B(F{H')) в
B{F(H)) по формуле Z->-Z<8>l. Определим вложение 2В(Я') в B
(F(H')), отождествляя B(f), В* (f) е 2В {Н'), f е Н' с
соответствующими элементами 2В(Я). Возвращаясь к лемме 3.1, мы
можем отождествить элементы А (/) е 2В(Я') <8> Cd, где /еЯ', с
элементами А (/) е 2В(Я) <8> СХ Затем мы отождествляем ехр А (/)
gB (F(H') <8><C.d) с элементами exp А (/)е f=B(F(H)(r)Cd).
Пусть z - разбиение отрезка [О, Г], и пусть Hz - подпро-
странство L2(0, Т), порождаемое функциями %к, k-1, ..., N. Если z'
< z-более мелкое разбиение, то Яг':эЯг. Рассуждая, как выше, мы
можем рассматривать Uz(t,s), унитарный оператор в F{HZ)(r) Cd, как
унитарный оператор в F{HZ')(r)Cd. Таким образом, Uz(t,s) и UZ'(t,s)
могут рассматриваться как операторы в одном пространстве.


Решение в смысле Ито
145
Докажем сначала лемму, которая в классическом случае влечет за
собой сходимость в среднеквадратичном.
Лемма 4.1. Пусть фе J(Q) определены соотношением ф(л:) =
s()(r) ... <8>xWn(tn, sn), S/Ktj,
тогда для z' < z E || (cp(Uz) - cp (ВД* (Ф (?/*) - Ф {UZ')) || < С2 + T ||
г || exp С [| z ||, где С = 2у(1 + 20) м2 Ц А11|2, а [| • || обозначает
норму матрицы из (Сd*dfn.
Доказательство. Согласно (19),
U,(t, s) = Ug(t)Ug(sy =
ехР 4-1 • • • ехР Аг-1 ехр
для ... (20)
ехрAk Для Tk_x
Определим t/*(0 как решение уравнения
ЧГи^ = -^AkXk(t)Uk(t), Uk( 0) = 0,
так что
ехр Ak, t^Tk,
Ukit) - exp*"^-" Ak, Tk_l < / < (21)
1, t^Tk_,.
Тогда для s t
Uk(t, s) = Uk(t)Uk(sy = expxAk, (22)
где
T = I [S, /] n !- (23)
Сравнивая (20), (22) и (23), находим, что
Uz (/, s) = UN {t, s) ... 17, (/, s). (24)
Поскольку матричные элементы (U(t,s))ij коммутируют для разных
k, то
4>{Ut) = 4>{UN) ... ф(?Л) = Фл, ... Ф,. (25)
Пусть
z/ = {0 = 7'o = 7'1,0<7'i(i< ... <TUV1 = T2 =
- Т2, о < Т2,1 < ••• < Т2, v2 = Тз = Гз, о < ...
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 78 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed