Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
вероятностной мерой, заданной на о-алгебре. Для обобщения более
подходящим является определение вероятностной меры как
функционала на пространстве функций, например на коммутативной
С*-алгебре непрерывных функций на компактном множестве. В
квантовой стохастике коммутативная С*-алгебра заменяется
некоммутативной. Аналогом вероятностной меры является
состояние.
Для наших целей, однако, удобно отправляться от более общего
понятия "-алгебры. Комплексная алгебра 31 с единицей и
инволюцией *: такой что (х*)* = х для всех
х'ей, 1* = 1, (х + у) * = х* + у*, (%х)* =%х для 1еС и (ху)* = у*х*
для х, у е 31 называется "-алгеброй. Аналогом вероятностной меры
является состояние на 31, т. е. линейный функционал со: 31-><С,
такой что со(х*х)^0 для всех хе31 и со<1) = 1.
130
В. фон Вальденфелс
Поскольку мы будем использовать только алгебраические
свойства некоммутативной алгебры, можно говорить об ал-
гебраическом подходе к квантовой стохастике.
Определим понятие независимости. Простейший случай
независимости элементов х, у е 91 - это когда они коммутируют и а
(ху) - w (х) а (у). Этот случай, однако, не является самым общим.
Определение 2.1. Пусть 91], ..., 91" суть "-подалгебры 91, и пусть
ш - состояние на 91. Подалгебры называются независимыми или ^-
независимыми, если со обращается в нуль на "-идеале, порождаемом
элементами \xt, Xj], xi е 91,-, X/ е 91/, i =^= /, и если
<"(*, ... хп) = а>(х1) ... а(хп).
Замечание. Из неравенства Шварца легко следует, что условие
неравенства со нулю на идеале, порожденном [.Xi, Xjj, Xi e 91,-, Xj e
91/, i Ф j, эквивалентно условию
СО([хг, X,Y[Xt, Xj]) = 0
для х,-е91/, Xj <= 9С/ i?=j. (Л. Аккарди, устное сообщение).
Пример. Пусть 91 = 91] 0 ... 0 91" и со = coi 0 ... 0 со", тогда
алгебры 91], ..., 91" независимы относительно со.
Общий случай может быть сведен к этому примеру в следующем
смысле. Обозначим У "-идеал, порождаемый элементами [Xi,Xj], х,-
<= 91/, Xj^Wj, i?=j, и обозначим 91° "-алгебру, порождаемую
алгебрами 9ti ... 91". Поскольку со равно нулю на У, оно определяет
состояние со на 91/У. Поскольку 91//У
П
коммутируют, то существует гомоморфизм тр 0 (91//У)-> 91°//.
Обозначим со,- ограничение ш на 91///. Формула в определении 2.1
показывает, что ш ° ц = coi 0 ... 0 соге.
Пусть Cdxd - множество всех комплексных d X d-матриц, и пусть
9ldxd- множество матриц с коэффициентами в "-алгебре 91. Имеем
9ldxd = CdX?i 0 91,
d
А = {Alk)i, d- 2 eik(r) Aik,
i, k=\
где eik - матричные единицы, т. e. матрицы с единицей на месте (i,
k) и остальными элементами, равными нулю. Алгебра 91dxd является
"-алгеброй с инволюцией
А' = (Z elk 0 Alk)' = ? eki 0 A\k или A* = {Alk)' = (A*, /).
Решение в смысле Ито
131
При этом (АВ)* = В*А*. Нам потребуется также операция
сопряжения
Л = 2 eik (r) Aik - (Ai, k)i, ft=i d-
Имеем АБ - АВ, если элементы Aik и Bik коммутируют. Очевидно, А
совпадает с комплексным сопряжением, если 91=С..
Предположим, что А1 А" являются 21йхй-матрицами.
Положим
Ах (8> ... (8> Ап = 2 eitkl <8> • • • (r) е'пьп (r) '4lifti ...
Alnkn-
Более общим образом будем использовать обозначение (r)те=мЛт, где
М - некоторое множество индексов. Если М' а М, то можно
определить оператор г\м> соотношением
Г)М' ( (r) ш s М'А ) = Й/jg мВ , где Вт = Ат
для т е м' и Вт = 1 для т ф М'. Для м' = {г} будем обозначать тр,}
= тр и т. д. Таким образом, Л1(r) ... ... (r) Л" = (Л1 (r) 1 ... (r)1)-(1(r)Л2(r)1(r)
...(r)1) ... (1(r)... ... (r) 1 (r) Ап) - r)j (Л1) ... г)"(Лп). Заметим, что
порядок сомножителей существен. Пусть со - состояние на 21. Тогда
отображение Ра: %dxd -* ?,dxd 21 -* Cdxd определяется формулой
Ра (Л) = Ра (2 еп (r) Alk) = 2 eik(r) (Aik).
Следуя вероятностным обозначениям, мы будем часто писать Ра (Л)
=со (Л). Таким образом, если Л = (Л,Д, то со (Л) = = Р<о(Л) =
(св(Л;*)). Отображение Ра обладает следующими свойствами
условного ожидания (ср. [1], [8] с. 101, [9]).
Предложение 2.1. Отображение Ра обладает следующими
свойствами: для любыхА,В^Саха^>^иа,Ь^Саха выполнены
соотношения
(I) ри(л*) = ра(лг,
(II) Ра(А) = Ра(А)~,
(ill) Ри(Л*Л)>0,
(iv) Ра(Л*)Ра(Л)<Ри(Л*Л),
(v) Pa(aAb) = aPa(A)B.
Здесь ^ 0 обозначает положительную определенность матри-
цы, и а <= Cdxd отождествляется с а (r) 1 е %dxd = Qdxd gj.
Доказательство. Свойства (i), (ii), (v) очевидны. Пусть x e
Cdxd, тогда
(x | (Л*Л) x) = 2 (x I '4'e<)(e< | Ax) = 2 ((e< I Ax))' • (et \ Ax),
132
В. фон Вальденфелс
где еь еа - ортонормированный базис в <СЛ Отсюда следует (iii).
Чтобы получить (iv), надо применить (iii) и (v) к выражению (Л-
РШ(Л)(r)1)*(Л- Рга(Л)(r)1), где 1 - единица 91.
Следствие, Пусть А есть *&dxd-матрица, и а, Ь - две Cdxd-
матрицы такие что Ь ^ а; тогда
Р(Л*6Л)<Р(Л*аЛ).
Доказательство. Достаточно доказать в случае 6 = 0. Тогда а -
и*аи, где и унитарная, а а диагональная матрица с
неотрицательными элементами ai, ..., a<* на диагонали. Тогда
