Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
системы. В самом деле, имеет место следующая цепочка импликаций:
Бернуллиева система
=>- /(-система
<=^ /(-перемешивание =>-
=>- перемешивание произвольного
=>- слабое перемешивание =?- эргодичность
(см., например, [3], рассмотрение в духе функционального анализа
имеется в [4]).
Полезность понятия /(-системы в классической эргодической
теории мотивировала введение подходящего аналога в
некоммутативной эргодической теории, имеющей дело с моделями
квантовой физики. Начиная с 1973 г. Г. Эмх разрабатывал эту идею в
серии публикаций (см [5] и цитированную там литературу). В
некоммутативной теории мы рассматриваем пару (91, ср), где 91 есть
W'-алгебра с точным нормальным состоянием ф, как обобщение
вероятностного пространства. Если к тому же имеется представление
а группы У == Z или У = К автоморфизмами алгебры 91, оставляю-
щими ф инвариантным, то тройка (91, ф, а) называется W*-cu-
стемой. Концепция /(-системы может быть тогда обобщена
следующим образом:
Определение. Пусть (91, ф, а) является ^-системой и 91* есть ^-
подалгебра алгебры 91, такая что (К1) 91* =а(91 для всех /^0;
(К2) V {"*91* : / ^ 0} = 91, т. е. 91 порождается подалгебрами
0(91*, /^ 0.
Тогда (91, ф, а; 91*) называется расширяющейся W*-системой,
Далее (91, ф, а; 91*) обладает свойством нуля - единицы, если
В этом случае (91, ф, а; 91*) называется №*-К-системой.
Понятие обобщенного К-потока, введенное ранее Г. Эм- хом
[5], включает еще одно свойство, которое мы называем гипотезой
условного ожидания:
(К4) существует (с необходимостью единственное) условное
ожидание системы (91, ф) на 91*, т. е. проектор единичной нормы из
91 на 91*, оставляющий ф инвариантным (см. [16])
порядка
==> сильное перемешивание
(КЗ) Л{<Х( 91* :/<0} = С1.
154
В Шрёдер
Эта гипотеза автоматически выполняется, если 51 коммутативна.
Она имеет место и для ряда некоммутативных примеров ([5], [6], [9],
[13]) и определенно находит мотивировку в приложениях 1Ё*-/(-
систем к неравновесной статистической механике. Однако имеются
причины, по которым интересно рассматривать 1Е*-/(-снстемы, не
предполагая априори выполнения гипотезы условного ожидания.
Одна из них заключается просто в наличии разнообразных 1Е*-/С-
систем, не удовлетворяющих этой гипотезе (см., например, разд. 4).
Среди них W*-/(-системы (51, ср, ст; 51*), где а-группа моду-
лярных автоморфизмов, ассоциированная с (51, ср). Согласно
теореме Такесаки [16], в подобных случаях гипотеза условных
ожиданий не может выполняться.
Другая причина заключается в нашем намерении расширить
диапазон возможных приложений, включив и равновесную
квантовую статистическую механику. Напомним, что ряд-
классических моделей равновесной статистической механики
являются /(-системами, например, идеальный газ (см. [3], с. 281).
Однако в алгебраическом формализме квантовая равновесная
система обычно описывается 1Е*-системой (51, Ф, а), где а
обозначает группу модулярных автоморфизмов, ассоциированную с
(51, ф). Если теперь имеется ^-подалгебра 51/с - 51, такая что (21,
ф, ст; 51/с) образует 1Е*-/(-систему, то гипотеза условного ожидания
не может выполняться.
Таким образом, как с точки зрения приложений, так и чисто по
математическим причинам представляется интересным развить
эргодическую теорию для 1Е*-/С-систем, не зависящую от гипотезы
условного ожидания. В этой статье мы остановимся на свойствах
перемешивания 1Е*-/(-систем. Мы собираемся расширить результаты
Г. Эмха для обобщенных /(-потоков [5] и исследовать, в какой мере
1Е*-/С-системы укладываются в иерархию свойств перемешивания,
аналогичную упомянутой выше. Доказательства, которые большей
частью опущены, содержатся в [13].
2. ГИЛЬБЕРТОВЫ /С-СИСТЕМЫ
Следуя классическим работам Колмогорова [7] и Синая [15],
можно попытаться исследовать 1Е*-/С-системы в терминах
унитарной группы, получаемой ГНС-конструкцией.
Если (Q, 2, ц, ф', S/c) - /(-система, то унитарное представление
U в Ж := L2(Q, X, ц), определяемое соотношением Utf = f
для lei, действует на замкнутое про
странство Ж к, := L2(Q, Sat, р) следующим образом:
(HI) 3@к sUt28K для всех /7^0;
(Н2) V {UtX6K : / > 0} = Ж\
(НЗ) n(% :/<0} = С|.
Иерархия свойств перемешивания для некоммутативных К-систем 155
Здесь У {UtMк'¦ t ^ 0} обозначает наименьшее замкнутое
пространство Ж, содержащее все Ut^K, и ^gL2(Q, 2, р) обозначает
функцию, тождественно равную единице на Й.
Эта структура будет играть важную роль в дальнейшем, поэтому
мы введем специальное определение.
Определение. Пусть Ж-гильбертово пространство, ge еЖ -
единичный вектор и U - унитарное представление группы Т в Ж,
оставляющее I инвариантным. Если замкнутое подпространство Жк s
Ж таково, что четверка {Ж, |, и-,Жк) удовлетворяет свойствам (HI)
-(НЗ), то {Ж,1,1д, Жк) называется гильбертовой К-системой.
Как показывает теорема фон Неймана (см., например, [3J, с 457),
