Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
это понятие тесно связано с хорошо известным понятием
однородного лебегова спектра ([3], [7], [15]): если {Ж, |, U\ Жк)
- гильбертова К-система, то U имеет однородный лебегов спектр на
ортогональном дополнении С? в Ж.
Данной И?*-алгебре 91 с точным нормальным состоянием ip
ГНС-конструкция канонически сопоставляет единственное
гильбертово пространство Ж с единичным вектором ?, причем 91
может рассматриваться как алгебра фон Неймана в Ж, вектор |
является циклическим и отделяющим для 91, а
Ф (я) = (*?!?) для всех х е 91.
Мы называем {Ж,\) ГНС-парой, ассоциированной с (91, ф).
Далее, если (91, ф, а) есть И^-систвма, то для Т имеется
единственное унитарное представление U в Ж, такое что
at(x) = UtxU*t и
Utl = l для всех х е 91, /ЕГ.
Мы называем (Ж, g, U) ГНС-системой, ассоциированной с (91, ф,
сс). Если ограничение U на ортогональное дополнение ,<С| в Ж
имеет однородный лебегов спектр, то мы говорим, что (91, ф, а)
имеет однородный лебегов спектр.
Применим эту конструкцию к анализу И?*-К-системы (91, ф, а,
91*); для этого наделим ГНС-систему (Ж,1,1/), соответствующую
системе (91, ф, а), структурой гильбертовой К-системы. При
выполнении гипотезы условного ожидания Г. Эмх показал в [5], что
{Ж, |, U\ 91*?), где 91*? - замыкание 91*| в Ж, образует
гильбертову K-систему. Выполняется ли это без гипотезы условного
ожидания? Конечно, трудность представляет лишь доказательство
свойства (НЗ). Оказывается, что свойство (НЗ) выполняется не для
всех W*-К-систем. Наиболее ярко это проявляется в следующей
ситуации,
156
В. Шрёдер
Предложение. Пусть (81, ф, a; Э1х) есть Ш*-К-система, та-
кая что а является группой модулярных автоморфизмов, ас-
социированных с (31, ф). Тогда %К1 = Щ - Ж.
Этот результат показывает, что подпространство 31x1 должно
быть модифицировано с помощью модулярного оператора А,
отвечающего паре (31, ?).
Теорема. Пусть (31, ф, а;31х) есть W'-K-система, (Ж,1,11)-
ГНС-система, ассоциированная с (31, ф, а), и А - модулярный
оператор, отвечающий^, ф). Если положить Жк :=(А + 1)1/г 31x1,
то {Ж, I, U\ Жк) является гильбертовой К-системой.
Можно показать, что при выполнении гипотезы условного
ожидания (А + 1)'/2 31x1 = 31x1- Таким образом, отсюда следует
результат Г. Эмха [5]. Из замечаний в начале раздела' немедленно
вытекает
Следствие. Если (31, ф, a; Six) есть W*-K-cuTeMa, то (31, ф, а)
имеет однородный лебегов спектр.
Доказательство теоремы. Заметим сначала, что =
= (А + 1)'/2(аДх)| Для все* IsT, потому что каждый Ut, /еТ,
коммутирует с А. Подпространство (A + I)!/i|J 1Н(аДх)?: />0} <= V
(t/Л: плотно в (Д+1)'/*Э1|в
силу следующих соображений: U (аДх: 1^0} плотно в 31 в сильной ^-
топологии s*(8l, 31,), а не 31 норма х->||(Д + 1)1/2л:|||= = (ф(л:*л:) +
ф(xx*))'k порождает топологию, более слабую, нежели s' (31, 31,).
Поскольку (А + 1)1/г Щ, = Ж, то мы доказали (Н2).
Свойство (НЗ) прямо вытекает из следующего результата
мартингального типа.
Лемма. Пусть (31, ф) есть №*-алгебра с точным нормальным
состоянием, (Ж,\)-ассоциированная ГНС-пара и А -
соответствующий модулярный оператор. Если (3lv)v<=i -
убывающая сеть W*-подалгебр 31, то
П (А+ТУНЦ = (А + 1)'/г U
vel ve]
Набросок доказательства: рассмотрим область определения
Ж* оператора Д1/2 в Ж со скалярным произведением ( • | . )#, которое
на плотном подпространстве 3l| s Ж* задано соотношением
(xl | у1)ъ = Ф (у'х) + ф (х'у) = {xl | yl) +
+ (A1/2xg| А,/2г/|) = <(Д + If2 xl\ (А + If2 yl), х, у е 31.
Иерархия свойств перемешивания для некоммутативных К-систем 157
Если обозначить 9lv?$ замыкание 5lv? в то, очевидно,
ай1* = (д +1)-'/2 (Д +1)'/2 9tv|.
Поэтому достаточно доказать, что
П ^* = ПГ^W-
"el Vvel J
Однако это немедленно вытекает из следующего наблюдения, которое
может быть получено из работы Рейфеля и Ван Даэ- ле [И]: если 91аа
обозначает самосопряженную часть 9lv, то
2lv?* = 9t*a? + №1% {0} = "Г! П W14 и
П Wl=( П I,
vei Vvel J
что и требовалось доказать
В случае когда для каждого ve / имеется условное ожидание Ev
системы (31, ф) на 9lv, мы снова имеем (Д + I)'/s9Iv| = = 91v?, и
получаем известный результат (см., например, [5])
п 9Ц = П 5lvi.
vei vsl
или, эквивалентно
lim Ev(*) = Еоо(л:) для всех х е 21
ve/
в топологии s*(9l, 91,), где ?<*> обозначает условное ожидание (91,
ф) на Г) 9lv. (Очевидно, наше наблюдение наводит на
V <= I
мысль о введении обобщенного условного ожидания для про-
извольной ^-подалгебры 93 Е 91, используя проекцию на (Д+ Д-1)1/28?.
Этот вопрос будет рассмотрен в другом месте.)
3. СВОЙСТВА ПЕРЕМЕШИВАНИЯ
3.1. Закон нуля - единицы как свойство перемешивания
Из теоремы предыдущего раздела на самом деле следует гораздо
больше, чем просто наличие однородного лебегова спектра,
поскольку для реализации структуры гильбертовой К-системы в
{Ж, ?, U) мы нашли специальное подпространство (Д + 1)1/291*?,
тесно связанное с подалгеброй 91*. Эта связь позволит нам дать
