Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
прямое доказательство эквивалентности некоторых сильных условий
перемешивания и свойства нуля - единицы. В несколько отличной
форме такая эквивалентность возникает в теории квазилокальных
алгебр, где
158
В Шрёдер
она играет важную роль (см., например, [2], с. 118). Мы даем здесь
другое доказательство, эффективно использующее мартингальную
лемму из разд. 2.
Теорема. Пусть (91, <р) есть W*-aAee6pa с точным нормаль-
ным состоянием и (9lv)ve= I-убывающая сеть W*-подалгебр 91.
Следующие условия эквивалентны:
(a) f){9iv: ve/} = C/,
(в) lim sup{| Ф(jcr/) - ф(jc)ф(г/)]: у e 9lv, Цг/Ц<1} = 0 для
V е I
всех х 6= 91,
(с) lim sup {| ф {xz) - ф(х)ф (z) |: ze 9lv\ ф (z2) ^ l} = 0 для
vei
всех х е 91.
Доказательство. Чтобы доказать (а)=^(с), обозначим Qv, ve/,
ортогональный проектор в Ж* на 91 v|*. Тогда по мартингальной
лемме из разд. 2 сеть (Qv)v<= i сходится сильно в к проектору Р* на
С?. Пусть теперь х е 91
и е > 0. Поскольку отображения
91|-> С, zE-*(xz?|E>*
ограничены относительно нормы || • Ц#, то найдется г) е Ж*, такой
что (xz% | !)# = (z? | r|)fl для всех z е 91. Выберем далее ре/ так,
чтобы
ll(Qu-P*)Tlll*<eV2- Поскольку
Qui/i = yl для всех у е 91ц, то мы имеем
(xyl 11)% - y (xl 11)* • (yl j 1)% = (yl ] (Q" - Р*) Ti>#.
Используя соотношения
q>(ab)~ 1|)$ для всех а, Ъ е 91 и
ф(а2) = у||а?||* для всех а е 91sa,
получаем
IФ (ху) - Ф (х) ф (у) | < бф (y2i'\
что доказывает (с). Доказательство остальных утверждений более или
менее стандартно и может быть найдено в [13].
Следствие. Расширяющаяся W*-cuCTeMa (91, ф, а; 91*) удов-
летворяет закону нуля - единицы тогда и только тогда, когда
выполняется любое из следующих двух условий:
Иерархия свойств перемешивания для некоммутативных К-систем 159
(а) для любого х е 91
sup {| ф (a? (,v)z) - ф(х)ф(г)|: z е 91^, ф (z2) ^ 1}-> О при
/ -> ± оо,
(б) для любого нормального состояния ф на 91
||(а*.(ф) - ф) | || -> 0 при /->±оо,
где at*, t ^ Т, обозначает отображение, предсопряженное к a t-
3.2. Перемешивание произвольного порядка
В классической эргодической теории доказывается, что /(-
системы обладают свойством перемешивания произвольного порядка
(см., например, [1], [3] с. 25). Чтобы получить некоммутативное
обобщение этого результата, введем
Определение. №*-система (91, ф, а) имеет W*-nepeMeuiuea- ние
произвольного порядка, если для любого neN выполняется
следующее: для данных х0, ..., хп, у о, ..., Уп е 91 и е > 0 найдется
meN, такое что
< 8,
ф (xyCt^ (xj) ... a ti + ...+tn{xny") ... ^(г/Ог/о) - II<p(*v*/v)
как только tv^ - m для всех ve{l, ..., п}. Будем это кратко
записывать в виде
Iim ф (x0ati(xi) ... at +...+t (хпуп) ... att (z/i) г/о) =
'i
П
= ПФ(^).
v=0
Выражения
Ф (дс0а#1 (дсО ... atx + ...+tn{xnyn) ... ct^ (г/i) г/о)
известны в теории некоммутативных случайных процессов под
названием "корреляционные ядра".
В теории квазилокальных алгебр можно найти другую
некоммутативную версию перемешивания произвольного порядка
(см. [10], следствие 2.4, с. 198). Это понятие формулируется в
терминах С*-алгебр и связано с более богатой структурой
квазилокальной алгебры, ^-алгебраическое обобщение классического
результата о том, что всякая /(-система обладает свойством
перемешивания произвольного порядка, по-видимому, ранее не
формулировалось. Комбинируя классическое рассуждение Блюма и
Хансона [1] и используя специальные свойства относительно слабо
компактных
160
В. Шрёдер
подмножеств предсопряженного пространства Ц7*-алгебры, мы
можем доказать следующий результат.
Теорема. Всякая №*-К-система имеет свойство W*-nepeMe-
шивания произвольного порядка.
Этот результат указывает место ^-/С-систем в иерархии свойств
перемешивания, аналогичной классической (см. разд. 1), потому что
И^-перемешивадие произвольной степени, очевидно, влечет за собой
сильное перемешивание:
lim <p(xat(y)) = <p(x)<p(y); х, уе 21,
|М->"
которое в свою очередь влечет разные более слабые формы
перемешивания (см., например, [5]). Для обобщенных /(-по-, токов
свойство сильного перемешивания и его следствия отмечались в [5].
4. КВАЗИСВОБОДНЫЕ W '-/(-СИСТЕМЫ НАД
КАНОНИЧЕСКИМИ АНТИКОММУТАЦИОННЫМИ
СООТНОШЕНИЯМИ
Используя квазисвободное представление канонических
антикоммутационных соотношений (КАС), мы находим новый класс
К7*-/(-систем. Этот класс дает множество примеров, в которых
гипотеза условного ожидания не может выполняться.
Пусть Ж- гильбертово пространство, оператор Re. е$(Ж) таков,
что R и 1 - R строго положительные, и пусть S - унитарное
представление Т в Ж, коммутирующее с R. Такая тройка {J?,R,S)
через представление КАС порождает * 117-систему хорошо
известным способом: пусть А (Ж) - КАС- алгебра над Ж, со*-
калибровочно-инвариантное квазисвободное состояние на А (Ж),
соответствующее R. Обозначим через 31 К{Ж) И?*-алгебру,
