Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Y(I)=I,
у(х1(r)л:2)=Р(л:1, Х2),
у(х1(r) . . . (r)x2m_i) = 0,
Y (-И <8> .. • <8> x2m) - S P(*s,) ••• P(*sm).
{Sj Sm}
Здесь {Si, ..., Sm} пробегает всевозможные попарные разбиения
множества {1, ..., 2m}, причем если S = {/ < /} такая пара, то мы
полагаем [3 (xs) = Р (xi, х,). Гауссов функционал обращается в нуль
на идеале, порождаемом элементами
* <8> У - У (r) х - р (х, у) + Р (У, х) (х, у е= V).
138
В. фон Вальденфелс
Фактор Т(V) по этому идеалу является алгеброй, порожденной V с
определяющими соотношениями
ху - ух = р(х, у) - р(у, х) {х, y^V).
Это - специальный случай алгебры Вейля В общем случае алгебра
Вейля порождается V с определяющими соотношениями
ху - ух = а(х,у) (х, y^V),
где а - некоторая кососимметричная билинейная форма на V.
Пусть Ж- гильбертово пространство и Ж* - его сопряженное
(см. [7]). Существует антилинейное отображение \ ^Ж-+\* <^.Ж*,
такое что f*(g)=(f,g} лля всех g^-Ж. Мы полагаем У = Ж*(r)Ж и
определяем а: КХУ->С соотношением
(/i + ^i. /2 + ёг2)~>(Л> ёг) -(/2.
Обозначим 2В(Я) алгебру Вейля, порождаемую Н* (r)'Н с
определяющим соотношением ху - ух - а(х, у).
Как это делается в физике, введем
В (/) = /* + Л
B'(g) = g + I, где /
- идеал, определяющий to (Я). Тогда
[В if), B{g)] = [B-(f), /?*(?)] = О,
lB(f), Bt(g)]=(f, g).
Отображение B(f)-*- B*(f) определяет инволюцию на W(H) и
превращает Ш(Н) в "-алгебру.
Теперь определим фоковское представление алгебры 2В(Я).
Обозначим TS(H) пространство всех симметричных тензоров на Н,
оо
TS(H) = C(r)H(r)(H (r)SH)(r)(H (r)SH (r)SH)(r) ... =
л-0 '
где Ts (H) с 7'"(Я) - подпространство тензоров степени п,
порождаемое симметричными тензорами, или, эквивалентно,
элементами вида /(r)л, (бЯ. Для f,g^.H положим
B*(f): Ts{H)->Tns+l (Н),
g(r)n^-7=(f(r)g(r)'l + g(r)f(r)g*''~ + ...
¦yjn + 1
B(f): Ts(H)->Ts~l(H),
в)*(r)'"-11,
Решение в смысле Ито 139
Поскольку
[B(f), B(g)] = [B'(f), B'(g)} = о,
[B(f), B'(g)] = (f, g), то
отображение
определяет представление 2B(Я) в пространстве линейных
преобразований в TS(H). Поскольку представление является взаимно
однозначным, обозначения B(f), B*(f) согласуются с исходным
определением.
Пусть К'- Н X НС-эрмитова положительно определенная форма
на Н. Рассмотрим гауссов функционал на Т (Н* (r) Н),
соответствующий билинейной форме
Рк (/l + ё 1. /2 + g-l) = К (/1, gi) + (/1. ?2) + К (/2, gl).
Поскольку
Рк (/' "Ь §1> /2 + ?2) Рк (/2 + (?2> /1 + (?l) =
= (/Ь g2)~ (g-2, /1) = "(/* + gl, /2 + ^2).
функционал у* обращается в нуль на идеале, определяющем 5В(//), и
может рассматриваться как функционал на 2В(Я). Пусть hi, h2, ... -
ортонормированный базис в Н\ используя обозначения Дирака,
введем элементы пространства TS(H):
1=|0)еГ°ДЯ),
| пи пъ п3, •••)=-,- !-¦ в' {hit' в' (h2)n' ... |0).
у/п.,1 уп2! ...
Эти векторы образуют ортонормированный базис в фоков- ском
пространстве F(H), которое определяется как пополнение TS(H).
Предположим, что существует ортонормированный базис hi,h2,
... и числа >4,^2, •••, такие что эрмитова положительная форма К
дается выражанием
Д(/, g) = X V/, Fl)(hi, g).
Тогда, рассматривая ф е 2В(Н) как оператор на TS{H), имеем
У к (Ф) = Ск{п) X ехр (- X nk\ik) <{"} | ф | {"}>,
где {n} - {ni,n2, ...} пробегает всевозможные последовательности
неотрицательных целых чисел,
1
140
В. фон Вальденфелс
ск = П(1-*-Ч
k
Такое представление для ук, однако, может иметь место лишь если
Ciс > 0.
Важный частный случай состояния ук- это состояние ув с
K(f, g) = 0(/, g), Э>0.
Тогда
(*) уе (Ф) = (1 - zf(tm) Н I zn'+n'+-({n} | Ф | {"}>,
{п}
где
Это представление может иметь место, лишь если dim Н <С оо или 0
= 0, 2 = 0.
Пусть А1, А2 - две С^^-матрицы с (Л1)* =- А2. Определим для
/е Н оператор
A(f) = AlB(f) + A2B'(f)
на Ts(H)(r)Cd.
Лемма 3.1. Для всех /е R и g^Ts(H) степенной ряд
сходится по норме пространства F(H)(r) Cd к вектору W(t)f.
Оператор f->-W(t)f продолжается единственным образом до
унитарного оператора из F(H)(r)Dd в F(H)(r)fC/. Имеют место
соотношения
w (S - 0 = W (s) W (0, w (о* ==
w (-1),
И7(0)=1.
Мы полагаем W (t) = ехр tA (/).
П
Доказательство. Положим Fn - (^)Ts{H). Имеем A(f)'.
k=0
Fn(r)Cd-+Fn+l(r)Cd и IH(f)g||<V" + l C\\g\\ для (SC^.
Поэтому
[||- A (f)*g| < ^ V("+ 1) ••• {n + k) || g ||.
Решение в смысле Ито
141
Следовательно, степенной ряд сходится по норме. Для g,hе еД(r) Са
<1V(s)g, W(t)h) = Yi-^s*t,l(APg, Aqh) = {g, W(t-s)h). p, q
поскольку
<ЛР?, Aqh) = {-\)p(g, Ap+4h).
Из этого соотношения получаем остальные утверждения леммы.
Мы сохраним обозначение уе для функционала на B{F{H)),
определяемого соотношением (*). Нам понадобится следующая
Лемма 3.2. Пусть Н - Сп и е, еп - стандартный
базис. Положим bk = В(е^, Ь\ - В' Пусть
a, = Z(V* + ^). ? = 1
где А^\^Саха таковы, что А)* =- A2qk. Тогда для всех t <= R
/р-о
= /?(/) = ?/у",
где ряд сходится абсолютно. Положим
