Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
305.
*> Звездочкой отмечены работы, добавленные при переводе. - Прим, перев.
Конструкция квантовых диффузий
123
16*. Hudson R. L., Parthasarathy К. R. Unification of Fermion and Boson stochastic
calculus, Commun. Math. Phys., 104 (1986), 457-470.
17*.Bainett C., Streater R. F., Wilde I. The H6-Clifford integral I, J. Funct. Anal., 48
(1982), 172-212.
18*. Streater R. F. The Ito - Clifford Integral II, Lect. Notes Math., 1136 (1985), 493-
503.
19*. Gardiner C. W, Collett M. J. Input and output in damped quantum systems: quantum
stochastic differential equations and the master equation, Phys. Rev. A, 31 (1985),
3761-3774.
РЕШЕНИЕ В СМЫСЛЕ ИТО КВАНТОВОГО
СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩЕГО ИЗЛУЧЕНИЕ И
ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА
В. фон Вальденфелс Институт прикладной математики,
Гейдельбергский университет, Гейдельберг, ФРГ
Резюме. Рассматривается квантовое стохастическое диф-
ференциальное уравнение U - A(t)U, где A (t) = AlF(t) + + A2F*(t),
F(t)-квантовый белый шум, а А> - комплексные dX d-матрицы с
(Л')* =- А2. Решение дается мультипликативным интегралом типа
Ито и является квантовым аналогом классического процесса с
независимыми приращениями на унитарной группе U(d). Все
интересные с точки зрения физики величины получаются из этого
решения. Уравнение излучения - поглощения света для
двухуровневого атома в приближении Вигнера - Вайскопфа является
частным случаем нашего дифференциального уравнения при d - 2.
ВВЕДЕНИЕ
Мы рассматриваем дифференциальное уравнение
U(t) = A(t)U{t), U( 0)=1, (1)
где
A{t) = A'F(t)+ A2F'(t). (2)
Л1 и Л2 - комплексные d X d-матрицы, такие что
(лТ = -л2. (3)
F{t) является квантовым белым шумом (ср. [2], [5J, [6J,
[10] ), удовлетворяющим формальным соотношениям
[F(t), Г(з)] = у6(/-з),
EF (t)F*(s)~(l + 0)уб (/ - s), (4)
EF'(t)F(s) = Q\6(t-s),
где 0^0 и - постоянные, а Е обозначает (некомму
тативное) математическое ожидание. Белый шум считается
и von Waldenfels W. Ito solution of the linear quantum stochastic differential
equation describing light emission and absorption. - In: Lect. Notes in Math., v. 1055,
Springer-Verlag, 1984, p. 384-404.
Решение в смысле Ито
125
гауссовским, т. е. все нечетные моменты равны нулю, а четные
выражаются через вторые моменты, как будет описано ниже.
Стохастическое дифференциальное уравнение (1) возникло из
теории излучения - поглощения света двухуровневым атомом. В
этом случае
являются 2 X 2-матрицами, a U(t) - оператор временной эволюции
системы, состоящей из атома и электромагнитного поля в
представлении взаимодействия. Использование 6-кор- релированного
шума равносильно аппроксимации Вигнера - Вайскопфа. При этом 0
= [ехр(-hu>(,/kT)-1]_1(йш0 есть разность энергий рассматриваемых
уровней, Т-абсолютная температура, k - постоянная Больцмана).
Таким образом, Тоо означает, что 0 -*¦ оо.
Мы хотим придать смысл уравнению (1) и с этой целью
рассмотрим классический предел 0->оо. Для того чтобы предел был
корректно определен, положим у->-0 и 0у->-уо- Тогда (4) переходит в
Условимся опускать индекс 0 у у0-
Теперь мы можем интерпретировать F(t) в (5) как классический
комплексный белый шум и рассматривать (1) как классическое
стохастическое дифференциальное уравнение. Здесь возникает
известная проблема: стохастическое дифференциальное уравнение
может пониматься в разных смыслах. В литературе рассматриваются
главным образом два подхода- Стратоновича и Ито. Решение
Стратоновича оказывается более подходящим для данной физической
задачи. Оно приводит к случайному процессу с независимыми
стационарными мультипликативными приращениями на унитарной
группе U(d). Обычное решение Ито уравнения (1) имеет тот
недостаток, что оно аппроксимируется неунитарными случайными
матрицами и в общем случае не приводит к процессу на U(d).
Поэтому мы предлагаем модификацию решения Ито, которую
называем мультипликативным интегралом Ито. Это приводит к
процессу на U(d) с независимыми стационарными приращениями,
похожему на решение Ито, но более удобному.
Цель настоящей работы состоит в том, чтобы, используя принцип
соответствия, перейти от классического случая
[F(0, F-{s)] = О,
EF (() Г (s) = EF* (s)F (0 = у06 (/ - s).
(5)
126
В. фон Вальденфелс
к квантовому и построить решение уравнения (1) в виде
мультипликативного интеграла Ито.
В разд. 1 рассматривается классический предел. В разд. 2
устанавливаются квантовые аналоги понятия случайной величины и
случайного процесса в рамках алгебраической квантовой стохастики.
В разд. 3 излагается некоторый аппарат: гауссовы функционалы,
алгебры Вейля, фоковское представление. В разд. 4 мы находим
решение квантового стохастического дифференциального уравнения
(1) в виде мультипликативного интеграла Ито.
Эта статья является усовершенствованной версией части
препринта [10], который содержит конструкцию мультипликативного
интеграла Ито и решение Стратоновича уравнения (1). Теорема разд.
