Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
4 настоящей работы, где дается мультипликативное решение Ито,
содержит теоремы 4.2 и 4.3 работы [10]. Идея этой новой версии
возникла из дискуссий с Л. Аккарди. Решение Стратоновича в [10]
носило эвристический и предварительный характер; строгие
доказательства даны в [П]*).
1. КЛАССИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ
Итак, рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение
(1), где A(t) дается формулой (2), a F(t)-комплексный гауссовский
белый шум с
EF(i)J(s) = y6(t-s).
Имея в виду дальнейшие обобщения, рассмотрим сначала понятие
случайной матрицы со значениями в U(d), группе всех унитарных d
X d-матриц. Случайная матрица U задается распределением р, т. е.
вероятностной мерой на U(d). Связь между U и р устанавливается
соотношением
Е /(?/)= \p(du)f(u) = p(f),
где f - произвольная непрерывная функция на U(d).
Пусть К(U(d))- алгебра непрерывных функций на U(d),
порождаемая единицей и функциями
и >¦иifa, и
Поскольку K(U(d)) содержит постоянную функцию и разделяет точки
U(d) и поскольку U(d) есть компакт, то применима теорема Стоуна
- Вейерштрасса, так что К(0(d)) плотна в банаховом пространстве
всех непрерывных функций на U(d) с равномерной нормой. Поэтому
вероятностная мера определяется своими значениями на K(U(d)), т.
е. момен-
11 Более явный подход к решению уравнения (1) излагается в [12*], [13*]. -
Прим. пере в,
Решение в смысле Ито
127
тами
\p(du)Uiikl ••• UinknUin+xkn+i •••
В тензорных обозначениях
p(fn. m)= 5 p(du)fn,m(u)>
где
? /. Ч . (r) Я х-ь - (r) m
fп> т(Ц) - ^ &W
Если даны две независимые случайные матрицы U и V с
распределениями р и q, то распределение произведения {УК задается
сверткой где
jj (р * q)(du) f (и) - jj ^p(du)q(dv)f( uv).
Поскольку
fn.m(uv) = fn.m(u)fa.m{v),
TO
(P * d) (f n< tn) P (f ti> m) Я if n- tn)'
Сверточной полугруппой на U (d) называется семейство {Pt)t>э
вероятностных мер на U(d), такое что
Ро = &1' Ps + t = Ps* Pt-
Если предположить, что t-^pt(f) непрерывно для всех непрерывных f
на U(d), то тогда
М/л.т) = ехр Ап, mt,
где Ап,т- некоторая матрица из (Qd-d')(r)(n+m\
Матрицы Ап, т характеризуют полугруппу pt.
Другой способ характеризации полугруппы состоит в задании
инфинитезимального оператора а. Для гладкой функции f он
определяется соотношением
-§rPt(f) = Pt(af)= J Pt (du)(af)(u).
Если а - дифференциальный оператор второго порядка, то это есть
так называемое уравнение Фоккера - Планка.
Случайный процесс U(/) на U(d) задается конечномерными
распределениями p-t ч , которые являются вероятностными мерами
на U(d)n и связаны с U (t) соотношениями
¦\ptt tn(duu dun)f{u{, ип) = Ef (U (t{) U{tn)),
где f: U(d)n-+- С.- произвольная непрерывная функция.
Мультипликативные приращения процесса U(/) определяются как
U\t, s) = U(t) U(s)*. Предположим, что П(0)=1
128
В. фон Вальденфелс
и to = 0 < t\ < ... < tn, тогда функция / может быть представлена в
виде
/(?/(/,), U(tn)) = g(U{ilt /"). ....
Таким образом, процесс U(t) может быть также задан ве-
роятностными мерами po,t .... t на U{d)n, связанными с U(t,s)
соотношениями
Еg(U(tlt t0) U{tn, /"_i))= ^ po. tn(duu ..., dun)X
Xg("i, • ¦ - , un).
Если
Po. t <" = #>. <,(r) ••• (r) ?<"-!• in'
то процесс называется процессом с независимыми мульти-
пликативными приращениями. Если, кроме того,
Ps. t Pt-St
то говорят о процессе со стационарными независимыми муль-
типликативными приращениями. При этом pt образуют сверточную
полугруппу. Таким образом, соответствующие величины Ап,т или
инфинитезимальный оператор а характеризуют процесс.
Вернемся к уравнению (1) и попытаемся решить его методом
мультипликативного интеграла Ито. Рассмотрим разбиения г = {Го =
0 < Т\ < ... <.Тп = Т} фиксированного интервала [О, Т] и положим
(') ='дУГ= аТ7 (л + А2р'^'
если Tk_i< t^Tk, где
Ч
ATk = Tk-Tk_u Fk = \ F(r)dr.
Ч-i
Здесь Fk, k= 1, ..., N,- независимые комплексные гауссовы
случайные величины с
EFkFt=y6klbTk, y = 2R еу
Уравнение
4-?/,(0=^(0?/,(0
решается в явном виде. Используя тот же метод, что и в квантовом
случае, который будет описан в разд. 4, мы получаем следующий
результат.
Теорема. Если ||2||=max{7Y-Тk-\\ k - \, ..., N) стремится к
нулю, то Uz{t) сходится по распределению и в сред
Решение в смысле Ито
129
неквадратичном к процессу U (t) с независимыми стационар-
ными приращениями, такому что
Pt (/m)==I exp A",
mf, где An, m даются соотношением
A", m - Y |-?г 2 ni {A1 A~ + A2A{) +
n+m
+ -"- E tt/(A'A2 +Л2Л')+ E /гг./U'(r) A2 -A2(r)A') +
/=я+1
_ n n+m
+ E /IW(A,(r)A2 +д2(r) A,)+E E nt,,(A1 (r) A' +
t = l /="rt+l
+ A2(r)A2)}.
Здесь
tt/(A)= l/_!(r) A (r)
/гьу(А(r)В) = 1г_, (r) A (r) 1у_г_1 (r)fi(r)
Инфинитезимальный оператор дается соотношением ,a =
y(Dp + Dq), где p==-i-(A' + A2), q = A-(^'-A2) u DPf(u)=* = lim \-
{f{ePtu) - f(u)) - правоинвариантная производная.
t-> о ^
2. ПОНЯТИЕ КВАНТОВОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА НА U (d)
В классической теории вероятностей обычно имеют дело с
