Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовые случайные процессы и открытые системы" -> 49

Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовые случайные процессы и открытые системы — Москва, 1984. — 220 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviesluchaynostiprocessiiotkritie1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 78 >> Следующая

Эта алгебра K(?i) плотна в C(Q), пространстве всех непрерывных
функций на П. Обозначим K(Q) "-алгебру, порождаемую элементами s); i, k= 1 d\ t, ssR+,
с определяющими соотношениями
(Л 0
XikiU s) = x"ki(s, t),
s)x!k(s, r) = xik{t, r).
Если ввести X(Q)dxd-MaTpHuy x (l, s) = (xik(t, s)), то эти условия
принимают вид
х (t, t)- 1,;
x(t, s) = x(s, t)\
x(t, s)x(s, r) = x(t, r).
Квантовым аналогом классического процесса приращений на U(d)
является состояние л на Ж {О.).
Пусть (U (0)ieR+ - семейство унитарных операторов в где ^ -
гильбертово пространство. Пусть t/ (0) = 1; положим U (I, s) =
U(t)U(s)\ тогда U(t, s) - 2 eik (r) Ulk(t, s). Отображение xik(t, s)-
>Uik(t, s) определяет гомоморфизм алгебры Ж (Q) в В(Ж). Если
обозначить f(U) образ f е eJK(Q) при этом гомоморфизме, то
оператор плотности р в ^определяет состояние на Ж (Q) по формуле
л(/) = 'Ггpf(U). Обозначим Жs, t "-подалгебру алгебры Ж(О ),
порождаемую ФУНКЦИЯМИ Xik(s, t).
Замечание. Отображение xik н-> xik (t, s) определяет *-изо-
морфизм из Ж (U(d)) на Ж5^.
Доказательство. В матричных обозначениях это отображение
записывается как х t-•>*(/, s), откуда x*y->x{t, s)* - = x(s, t).
Поэтому соотношение xx' -\ переходит x(t, s) X X x(s, t) = x(t,
0=1, И x'x =1 в x(s, t)x{t, s) = x(s, s)-l. Следовательно,
отображение продолжается до гомоморфизма. Остается доказать, что
оно является изоморфизмом. Для этого определим гомоморфизм тр
Ж3,г-*-Ж(и^)), такой что


136
В. фон Вальденфелс
Xtk(t, s)->- Xik. Положим U(x) = x для т = / и U( т)=1 для x^t, и
пусть U(x,a)= U(x)U(a)*. Отображение хг*(т, о)-*- -*Uik{x,a)
продолжается до гомоморфизма из Ж(Q) в Ж(и(<1)), ограничение
которого ri на Же, t имеет желаемое свойство.
Если я- состояние на Ж(Q), то обозначим я5, < состояние на
Ж(и(с1)), которое является образом ограничения я на Ж3, t при этом
изоморфизме. ns,t является квантовым аналогом распределения
приращения U(t, s) = U(t) U(s)*, если U(t), t^O-классический
случайный процесс на U(d).
Состояние л на Ж (Q) определяет квантовый аналог процесса с
независимыми приращениями на U(d), если "-подалгебры Т0, Ж u,u
где 0 < ^ << ••• tn, я-незави- симы в смысле определения 2.1.
Имеем
я,. г === щ, $ * я5, г при т s t,
nt. t - ^i-
Состояние я на Ж(Q) определяет квантовый аналог про-, цесса с
независимыми и стационарными приращениями, если приращения я-
независимы и я*, s = w<_s. Состояния со* образуют сверточную
полугруппу на Ж(U(d)). Если для fe еЖ(и(д)) функция t-+at(f)
является непрерывной, то o)i(xw) = exp s^w(t) и матрицы s&w
определяют он однозначно.
Лемма 2.1. Состояние я на Ж(?2) определяет квантовый
аналог процесса с независимыми и стационарными прираще-
ниями, такой что t->-iot{f) непрерывна, тогда и только тогда,
когда
Г
я(хш'(С/1, s,,)(r) ¦ • • <8>xWn (t,n, sin)) = TLr\M(expj*Wm(tp-sp)).
Здесь Si < s2^ t2 ... < < tr, Mp = {q:q=l n;
jq - p) и w (p) является ограничением w на Mp, т. е. w (р) =
= П wq, где произведение упорядочено слева направо. Опе-
q^Mp
ратор TiM был определен выше.
р
Доказательство. Ж(0) порождается элементами вида
W W
Xi'kx{xI, Oi), ximkm(xm> arn), где можно предположить,
что xk<ok для k=l, ..., m. Имеется конечное число интервалов
[sp, L[, sp<tp, р=\, ..., г, таких что всякий ин
тервал [xk, ok[ является объединением интервалов [sp, tp[, где р
пробегает подмножество чисел 1, ... т. Коэффициенты xWk(xk, ок)
можно выразить через коэффициенты


Решение в смысле Ито
137
xWk(tp, sp) для тех р, для которых [/р, sp [ содержится в [t*, стА [.
Поэтому можно ограничиться случаем в формулировке леммы, когда
все интервалы не пересекаются. Остальное является очевидным.
Мы будем использовать обычные вероятностные обозначения.
Если 91 - *-алгебра, и из контекста ясно, о каком состоянии со идет
речь, то мы пишем со(/)=Е/, где Е обозначает математическое
ожидание. Введенное понятие квантового аналога процесса на U (d)
может показаться крайне абстрактным, однако это не так.
Возвращаясь к рассмотренной ситуации, обозначим через Ж
гильбертово пространство теплового резервуара, и пусть ("(/))<>о -
семейство унитарных операторов в Сd (r) Ж. Пусть Л1, ..., Ап -
эрмитовы d. X d-матрицы, тогда положим Ak (t) - U(t)*AkU(t). Для
физики представляют интерес моменты
ТгрЛЧ/,) ... An(tn),
которые могут быть записаны в виде
^Trp(t/(0, ti)iakaU{t\, •••
... U tn)in_x, kn_ j, ?/(/". ")/"*") 4.', ^kn-V
in.ei0' kn =
= Z[7"K*0(°' ^ ••• ••• 'A'">
где eiahn - матричная единица. Таким образом, я содержит всю
информацию о моментах величин Ak(t) и ничего более.
3. ГАУССОВЫ ФУНКЦИОНАЛЫ
Нам понадобятся некоторые результаты общей квантовой
стохастики [3], [6]. Сначала напомним понятие гауссова
функционала. Пусть V-комплексное векторное пространство, Т(V)-
его тензорная алгебра и (3 - билинейная форма на V. Гауссов
функционал на V, соответствующий форме р; это линейный
функционал на Т(V) со свойствами
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 78 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed