Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
порождаемую ГНС-представлением А (Ж), отвечающим состоянию
со*, и будем обозначать нормальное продолжение со* на 31R (Ж) тем
же символом. Наконец, пусть 3t*(S,), te I, есть нормальное
продолжение квазисвободного автоморфизма А (Ж), порождаемого
St. Тогда (31* (Jf) , со*, 31* (S)) называется квазисвободной ^-си-
стемой, отвечающей (C^,R,S).
Предложение. Предположим, что для данной тройки (Ж, R,S)
имеется замкнутое подпространство Жк^Ж со свойствами:
Жк S S^K для всех t > 0,
V {SA: />0} = Ж,
П {5Л: /<0 = {0}.
Иерархия свойств перемешивания для некоммутативных К-систем 161
Пусть 91*(,%\) есть W*-nodaAee6pa алгебры 91* (Х), порож-
даемая алгеброй А(Жк)^А(Ж), тогда (%К(Ж), со*, 91*(S);
91*{Жк)) является \Р*-К-системой.
Доказательство, которое требует других рассуждений, нежели в
случае ККС (канонических коммутационных соотношений) ([5], [6]),
можно найти в [9], [13].
Такие квазисвободные W*-K-cucTeMbi обладают рядом ин-
тересных свойств:
(1) Они дают первые примеры И7*-К-систем, которые не
обладают свойством слабой обратимости [5].
(2) Для квазисвободных 1К*-К-систем имеется простой
критерий выполнения гипотезы условного ожидания: именно, она
выполняется тогда и только тогда, когда проекция Ж на Жк
коммутирует с R.
(3) Если R<={Sc. 1еТ}"\С/, то подалгебра 9Iя(Жк) отнюдь не
совпадает с областью значений условного ожидания в (Ш*(Ж), со*),
точнее, если S3 есть 1Р*-подалгебра алгебры 91*(Ж), содержащая
91*(Жк) и являющаяся областью значений условного ожидания в
(91*(Ж), со*), то 99 = 91*(Х).
(4) Пусть J = R и R = (I -|- е~н)~1, где Н - самосопряженный
инфинитезимальный оператор S. Тогда St = Ru(I - - R)-u для всех
le R, и, таким образом, 91*(S) является группой модулярных
автоморфизмов, ассоциированной с (91*(Ж), со*). Таким образом,
мы получаем первый пример, когда группа модулярных
автоморфизмов образует W*-K- систему.
(5) Квазисвободные 1Р*-К-системы возникают как марковские
расширения некоторых (однопараметрических полугрупп) вполне
положительных обобщенно свободных операторов в КАС-алгебре [9],
[13]. Технически отличный случай ККС рассмотрен в [6].
Я рад выразить благодарность моим коллегам из Тюбингенского
университета, в частности Б. Кюммереру за многочисленные
плодотворные обсуждения и С. Руийсенаарсу за усовершенствование
в теореме разд. 2.
Литература *)
1. Blum J. R., Hanson D. L. An elementary proof that automorphisms of
Kolmogorov are mixing of all orders. In: Ergodic theory. Wright F. B.
(ed), 71-73. New York: Academic Press, 1963.
2. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая
механика. - М.: Мир, 1982.
*) Звездочкой отмечены работы, добавленные при переводе. - Прим, перев.
162
В. Шрёдер
3. Корнфельд И. П., Фомин С. Б., Синай Я. Г. Эргодическая теория.- М.: Наука,
1980.
4. Derndinger R., Nagel R., Palm G. 13 lectures on ergodic theory, Manuscript,
Tubingen, 1982.
5. Emch G. G. Generalized К-flows, Commun. Math. Phys., 49 (1976), 191-215.
6. Emch G. G., Albeverio S., Eckmann J.-P. Quasi-free generalized K-flows, Rep.
Math. Phys., 13 (1978), 73-85.
7. Колмогоров A. H. Новый метрический инваринт транзитивных динамических
систем и автоморфизмов пространств Лебега, ДАН СССР, т. 119 (1958), 861-
864.
8. Kiimmerer В. Markov dilations of completely positive operators on W*- algebras,
Semesterbericht Funkctionalanalysis, Tubingen, Wintersemester 1981/82, 175-186.
9. Kiimmerer B., Schroder W. A Markov dilation of a non-quasifree Bloch evolution,
Commun. Math. Phys., 90 (1983), 251-262.
10. Lanford III О. E., Ruelle D. Observables at infinity and states \wth short range
correlations in statistical mechanics, Commun. Math. Phys., 13 (1969), 194-215.
11. Rieffel M. A., van Daele A. The commutation theorem for tensor products of von
Neumann algebras, Bull. London Math. Soc., 7 (1975), 257-260.
12. Schroder W. Non commutative Kolmogorov-flows, Semesterbericht Funk-
tionalanalysis, Tubingen, Wintersemester 1981/82, 161 -174.
13. Schroder W. W*-Ksystems, Thesis, Tubingen, 1983.
14. Синай Я. Г. Вероятностные идеи в эргодической теории. Междунар. ма-
тематический конгресс (1962), 540-559.
15. Синай Я. Г. Динамические системы со счетным лебеговым спектром I, Изв. АН
СССР, сер. матем., 25, № 6 (1961), 899-924.
16. Takesaki М. Conditional expectations in von Neumann algebras, J. Funct. Anal., 9
(1972), 306-321.
17*. Kiimmerer B. Markov Dilations on W*-Algebras, J. Funct. Anal., 63 (1985), 139-
177.
18*. Kiimmerer B., Schroder W. A new construction of unitary dilations Singular
coupling to white noise, Lect. Notes Math., 1136 (1985), 332-347.
ПРИМЕРЫ МАРКОВСКИХ РАСШИРЕНИЙ НАД 2 X 2-
МАТРИЦАМИ1)
Б. Кюммерер
Математический институт, Тюбингенский университет,
Тюбинген, ФРГ
Резюме. Строятся и обсуждаются некоторые явные примеры марковских
расширений полугрупп вполне положительных отображений в W*- алгебре 2 X 2-
