Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
смысле и мы пишем
Р: (211>Ф1)->212.
Тройка (21, ф, Tt) называется дискретной (непрерывной)
динамической системой, если 1-*7\ является (поточечно слабо "-
непрерывным) представлением полугруппы Т+ = = N U {0} (Т+ = 1Ь?+
U {0}) морфизмами пары (21, ф), причем 7'0=IdiJ[. В дискретном
случае Tt={T\)(, и мы иногда пишем (21, ф, Т\) вместо (21, ф, Tt).
Если каждый морфизм Tt, является "-автомор
физмом, то мы называем (21, ф,Tt) обратимой динамической
системой и рассматриваем представление Т+ как расширение до
представления Т = Z (Т = К). Сформулируем теперь наше центральное
Определение. Расширением динамической Системы (21, ф, Tt)
мы называем совокупность (21, ф, Ту, Р), где (21, ф, Tt)- обратимая
динамическая система, а Р: (21, ф)-> (21, ф) - условное ожидание с
соответствующим вложением 1: (21, ф)-> -*(21, ф), такие что
диаграмма
(21, Ф) -X (21, Ф)
4 !р
(€, ф) (21, ф)
Tt
коммутирует для всех 1еТ+.
Если (21, ф, Tt)-дискретная динамическая система и если
диаграмма коммутирует только для 1 = 0, 1=1, то мы называем (21,
ф, ft; Р) расширением первого порядка для (21, ф, Tt).
166
Б. Кюммерер
Если / s Т, то мы обозначаем 91;:= V ?V(2l) й?*-подал-
*е 1
гебру 51, порожденную алгеброй [J Tti(91). Заметим, что ус-
^ t е= I
ловное ожидание Р; системы (91, ф) на 91; существует (см., например,
[8], 2.1.3). Расширение (Й, ф, Тр, Р) системы (91, Ф, Tt) называется
минимальным, если 91 = 91(_оо, <*>), и марковским, если для всех
х е 91 [0, оо>: Р[о] (*) = Р(-оо, о] (х).
1.4. Полугруппы над 2 X 2-матрицами
Далее 91 обозначает й7*-алгебру всех 2 X 2-матриц и ф -
фиксированное точное неследовое состояние на 91. Таким об" разом,
можно считать, что
/ Хц Х\2 \
ф(х) = 'пх11 + (1 - ri)x22, х = 1 I,
\ л-21 *^22/
для некоторого вещественного числа ц, 0 < ц < '/г-
Нетрудно доказать ([8], 2.1.8; см. также [7], § 2), что если
динамическая система (91, ф, Rt) имеет расширение, то каждый
морфизм Rt коммутирует с элементами группы модулярных
автоморфизмов of. В [3] показано, что всякая непрерывная
динамическая система (91, ф, Rt), удовлетворяющая этому условию,
имеет вид Rt: 91-"--91:
{ Хц х12\
\ #21 *^22 /
/'*11+О - e~vt)(l - Tl)(x22 - хи) g-Ck-ita) t xi2 ч
~V е-^+1а^х2Х *2г + (1 - е-^)ц{хп - x22)J
где со, К, v - вещественные числа, удовлетворяющие условию О v
2k.
В физике такие отображения известны как "эволюции Блоха",
описывающие релаксацию частицы со спином у2 в магнитном поле
при конечной температуре. Более подробно об этом см. [Ю].
Варилли [14] построил расширение этой непрерывной ди-
намической системы, не обладающее марковским свойством (ср. [9]).
Однако в соответствии с замечанием в п. 1.2 представляется
желательным найти расширение этой динамической системы, которое
обладает марковским свойством.
Удобно разложить операторы полугруппы Rt в следующем виде.
Положим St: 91-"-91:
( *11 *12 ^
\ *21 *22 /
( *11 + 0 - e~vt){\ - T|) (*22 - *11) e-(v/2-to) * JCJ2
\
§-(v/2+i")r*2l. *22 + (! - e~V<)n*22 /
Примеры марковских расширений над 2 X 2-матрицами 167
и Tt: 2i-> 21:
хп t Xi2
e-a-v/2) t X2i X22
>
Тогда (91, ф, St) и (91, ф, Tt) являются непрерывными динамическими
системами и Rt = St • Tt = Tt • St для /eR+U{0}. Удобство этого
разложения обусловлено тем, что 91 можно рассматривать как С*-
алгебру канонических антикоммута- ционных соотношений над
одномерным гильбертовым пространством С. Тогда St оказывается
квазисвободным вполне положительным отображением, отвечающим
сжатию z-* -*e~(v/2+ie>)tz на Q (Ср [4]). Поэтому для динамической
системы (91, ф, St) марковское расширение может быть построено с
помощью "механизма квазисвободного расширения", и если удастся
построить марковское расширение для (91, ф, Tt), то можно будет
скомбинировать эти расширения как в [14], [9], чтобы получить
искомое расширение для (91, ф, Rt) ¦ Поэтому в дальнейшем мы в
основном рассматриваем динамическую систему (91, ф, Tt).
В этом разделе обсуждается расширение для дискретной версии
динамической системы (91, ф, Tt).
Тогда T = Tt для 1=1, и (91, ф, Т) является дискретной ди-
намической системой. Как обычно, для унитарного U в №*-ал- гебре
Ж мы обозначим через Ad U внутренний автоморфизм Ж, задаваемый
соотношением Ad U(х) = U*xU.
2. ДИСКРЕТНОЕ РАСШИРЕНИЕ
2.1. Конструкция дискретного расширения
Положим
Пусть феК таково, что е1^) = р; введем два
унитарных оператора в 91:
Тогда для х е 91
2
168
Б. Кюммерер
Это представление Т в виде выпуклой комбинации порождает
расширение Т согласно следующей общей процедуре, описанной в
([8], 4.3.2-4.3.6). Положим X :- {-1,1} и обозначим р
вероятностную меру на X, заданную формулой
р({ - 1})=у = р({1}). Тогда Ф := L°°(X, р) является двумерной
коммутативной Ц/*-алгеброй и №*-алгебра §li :=Я(r)0 может быть
записана так же, как 9Ci = 9С Ф 9С. Используя любое из этих
представлений Яр определим конструкцию расширения первого
