Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, основными ингредиентами нашего расширения
являются обратимая динамическая система (Ф, ji а) -
бернуллиевский сдвиг с веротностью '/2 и унитарный левый коцикл
для ст. Более детальное рассмотрение показывает, что марковское
свойство расширения отражается в том, что унитарные элементы vn и
an(vm), п, me N, рассматриваемые как случайные величины на (X, р),
статистически независимы. В разд. 3 мы покажем, что это
характерно для общей структуры любого марковского расширения
системы (91, ср, Г).
Вычисление элементов коцикла дает подсказку для нахождения
непрерывного расширения.
Если rtzeN, l = (lk)k<=z^ X, то
я"М((Цег):
{е*,Ъп *1
Ь'*, 6(tm)=1 J
Таким образом, vn является функцией на X, задаваемой формулой
¦ (п> ^
На вероятностном пространстве (X, ji) введем случайные величины
Xnmk*z):=ln, (п^О),
Bn((?*)*ez):= Z Sm, (Я5 N).
m= О
п - 1
Очевидно, Хт, Хп = Вп+\. - Вп{гк=Ы) и (Xa)n>Q
m=О
является случайной последовательностью бросаний симметричной
монеты, тогда как (Вп)п s N есть соответствующее случайное
блуждание на одномерной решетке, т. е. дискретный аналог
броуновского движения. Элементы коцикла записываются в виде vn =
et,l(Ba.
172
Б Кюммерер
3. ОБЩАЯ СТРУКТУРА МИНИМАЛЬНОГО
МАРКОВСКОГО
РАСШИРЕНИЯ СИСТЕМЫ (51, <р, Г,)
В этом разделе мы докажем теорему, которая полностью
описывает структуру минимального марковского расширения
динамической системы (51, <p, Tt). В дискретном случае соот-
ветствующая структура была описана в п. 2.3. Для упрощения
обозначений положим а:=(А,- v/2), так что Tt дается формулой
( *11 Хы\ ( е~"<л:нЛ
\ Х21 Х22 ) \ е at Х21 Х22 )
Теорема. (А) Пусть (<<Р, т, at)-непрерывная
динамическая обратимая система, где т
- точное нормальное следовое
состояние. Пусть (vt)*sr- слабо *-непрерывный унитарный левый
коцикл для ( at)t е= r. ДЛЯ I = R обозначим 1 W*-подалгебру ,
порождаемую элементами {vt)t(=i,u Qi - условное ожидание {ff, т) на
Wi. Если коцикл (vt)t "= r удовлетворяет условиям
(а)т(и1) = е~а, а > 0; r("()sR у/ е R,
(|3)^ = ^<_оо, со),
(y)Q(-oc, 0\{х) = т(х) • I для всех л: е'g'p,",),
то мы получаем минимальное марковское расширение (91, ф, ft; Р)
системы (91, <p, Tt), полагая
91 := 91 <S> Я?, ф := ф(r) Т, ft: = AdVt • at,
где
и определяя Р как условное ожидание (Й, ф) на (91, ф) по формуле х
<?> р %{у) -х (х е 91, у е <ff).
(В) Обратно, всякое минимальное марковское расширение
системы (91, ф, Tt) имеет вид, описанный в (А).
Доказательство утверждения (А): Записывая свой
ство коцикла в виде at (os) = vt+s ¦ v*, получим, что М?( -оо, о]) "-
^(-оо, t\. Таким образом, свойство (у) влечет
Q(-oe, #1 (crt (лс)) = т (л:) •
для всех х е&№, оо). Отсюда получаем для всех /ь t2~^0:
'T(Wn+fJ) = 't(tTfl(Of2) • о<,) =
= T(Q(_OO, Щ [<7tl(utj) • Uf,]) =
= т (x (vti) • I • Vt,) = x (vti) • T (vt,).
Примеры марковских расширений над 2 X 2-матрицами 173
Из этого функционального уравнения вместе с непрерывностью и
свойством (а) выводим т (vt)=e~at для t ^ 0.
Поскольку t-^vt - левый коцикл для (a()(SR, унитарная функция
t-^Vt является левым коциклом для группы автоморфизмов Отсюда
легко получаем, что (&, ф, Tt)
является непрерывной обратимой динамической системой. Для
данного
/ *11 *12 Л
\ *21 *22 /
91
^21 *22 У
получаем
fti(x) = Ad Vt ¦ (Id31 (r) <yt)(x (r) I) = Ad Vt(x (r) I) =
( Xn • I Xj2 • vt \
= , 12 / e9I(r)<g?.
V *21 -vt x22 • I )
Отсюда вытекает свойство расширения
/ хи ¦ I х,2 • и, \
PTti(x) = P\ , .4 =
V *21 - О, *22-1 )
/ т (*Ц • I ) *(*12-^)^
\ т (х21 ¦ vt^ т (л:22 • I) )
( хп e~at ¦ х,0 ^
) = ТМ
(здесь г обозначает вложение 91 в 91, соответствующее Р). Легко
проверить (см., например, [8], 5.13), что W* - подалгебра
порожденная i (91) = 910/ и TV'(91), совпадает с 91 для
любого (GR. Отсюда по свойству О)21(_сю, <") =
= 91 (r) ^(-м, о") = 91, что доказывает минимальность.
Далее 91(_оо, 0] = 91 (r) ^(-со, оь откуда Р<_<*,, 0] = Ida <8> Q<-oo,
оь и для любого элемента
/ Х\\ Х\о Л
X = I ] 6= 91 [0> оо) = 91 (r) "'[О. оо), *1/ "'[О. оо)>
\ *21 *22 '
получаем с помощью (у):
/ Q(- оо, 0] (*ll) Q(- оо, 0] (*1г) ^
Р(-оО, 01 (X) = ^ 0! ы 01 (Хи) j =
_ / *(*ll)- I *(*12)' 1\_р , ч
"U(*2l)-I *(*22) *1/ 101
что доказывает марковское свойство.
174
В. Кюммерер
Доказательство утверждения (В): Предположим теперь, что (51,
ф, Tt',P)-минимальное марковское расширение для (51, ф, Tt). В
([8], 5.13, 5.14) мы доказали, что (51, ф) = = (51 <8> ф <8> т) для
некоторой 1К*-алгебры ^ с точным нормальным состоянием т.
Согласно ([8], 2.3.3), можно предположить, что т - след. Далее, в
([8], 5.13, 5.14) показано, что для любого /gR существует унитарный
vt в <ё>, такой что
С хи -иЛ
для х = I I е 51
\ Хо\ ^22 /
~ / Хц • I xl2 -IN / хИ • I х12 •
vt \
V х2; • I х22 • I / \ х21 ¦ Vt х22 • I /
откуда
ff(je(r) 1)=1Д(х(r) I)^ = AdKf(je(r) I), где ")•
Для 11, U e R получаем
Vtl+t> ¦ {x (r) I) • Vt:+u = ft,+t,{x (r) 1)==^, • TtAx (r) I) =
