Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
hlt не зависящие от ср, имеют еще более
высокий порядок и их также можно считать малыми величинами.
Таким образом" g и К действуют как малые возмущения.
Малость членов g и К можно указать явно, если произвести еще одну серию
масштабных преобразований, а именно
g= (8.5.26)
h = e7i (8.5.27)
ц = г'ч\. (8.5-28)
Преобразования (8.5.26) - (8.5.28) позволяют перейти от уравнений
(8.5.19), (8.5.21) к уравнениям
=-2Хт]- ЪЬ'е'т?-Ь'г/гх]3 + + е, е<ф, е_1ф).
dx
(8.5-29)
Качественные макроскопические изменения
277
~~=~К - Ь(г0 + г'г])2 + г'Ъ(г0 + г'г], е, е'ф, е 1ф). ат ег
(8.5.30)
Собирая вместе все величины, содержащие параметр малости е', запишем
уравнения (8.5.29), (8.5.30) в окончательном виде
= - 2^т) + e'g (л, е\ "'Ф, е~щ), (8.5.31)
йт
=Шв + е'Л(л, в', е'ф, (8.5 32)
ат
где
ми = Яи/е2-b rl (8.5.33)
По причине которая станет сейчас ясной, уравнения (8.5.31)
и (8.5.32) удобно записать в виде
¦П = - М + е&СП, Я>, е), 8.5.34)
Ф = (c)и + е/1(т), ф, е), (8.5.35)
где g и h - функции 2л-периодические по ф (их не следует путать с
функциями g и h, входящими в уравнения (8.5.3), (8.5.4)).
Уравнения (8.5.34) и (8.5.35) записаны в таком виде, который позволяет
нам воспользоваться результатами разд. 6.2. Напомним, что в этом разделе
мы изложили теорему Мозера. Она-то и позволит нам проанализировать
уравнения (8.5.34), (8.5.35) (см. для сравнения уравнения (6.1.9),
(6.1.10)).
Следует подчеркнуть, что теорему Мозера мы используем "не в полную
силу", так как она применима к квазипериодическому
движению, в то время как нас сейчас интересует только периоди-
ческое движение (тем самым исключается проблема малых знаменателей).
Заметим, что уравнения (8.5.34), (8.5.35) можно было бы решить и более
прямыми методами, например по теории возмущений. В дальнейшем нам
предстоит применить ту же схему рас-суждений и к более сложному случаю
квазипериодического движения, поэтому мы хотели бы предварительно
продемонстрировать наиболее существенные особенности нашего подхода в
более простом случае.
Сравним уравнения (8.5.34), (8.5.35) с уравнениями (6.1.9),
(6.1.10). В гл. 6 наша задача состояла в том, чтобы ввести контрчлены D и
А (а в случае необходимости и d), которые должны были воспрепятствовать
изменению величины Лию при итерациях.
Производимые нами теперь итерации несколько отличаются от тех, с которыми
мы встречались в разд. 6.1, так как уравнения
(8.5.34), (8.5.35) не содержат контрчленов. Следовательно, возму-
278
Глава 8
щения g и h теперь будут приводить к изменению Л и со, и
это необходимо иметь в виду. Тем не менее результаты,
изложенные
в разд. 6.1, переносятся и на рассматриваемый нами сейчас случай.
Обозначим для краткости - %и через %и (новую величину А,ы == = - Хи не
следует путать с введенной ранее величиной %и (см. 8.4.6)) и запишем
К = К~2_D + D (8.5.36)
и аналогично
со" = соы- Д + Д (8.5.37)
Подставляя правые части соотношений (8.5.36), (8.5.37) в уравнения
(8.5.34), (8.5.35), мы преобразуем эти уравнения к тому самому виду,
который требуется для того, чтобы была применима теорема Мозера.
Используемый нами прием хорошо известен из физики, а именно из квантовой
теории поля, где величины с индексом и, например сои, принято называть
неперенормированными, а величины типа со,, А,, - перенормированными. По
теореме Мозера мы можем вычислить D и А из уравнений (8.5.34) и (8.5.35),
если подставим в них разложения (8.5.36), (8.5.37). Контрчлены D и Л
становятся при этом функциями от А,,, со,- и е, и мы получаем соотношения
А,, = А,В-D(A," со" е), (8.5.381
со, = со"- Д(А," со,, е), (8.5.39)
где?> и Д - функции, аналитичные по в и, как нетрудно убедиться,
анализируя описанный в разд. 6.3 итерационный метод, непрерывные и даже
дифференцируемые по А,,, со,. Это позволяет нам разложить соотношения
(8.5.38), (8.5.39) по крайней мере при малых е по А,, и со,:
K = F{K, е). (8.5.40)
со, = G (A.u, сои, е). (8.5.41)
Обратить соотношения (8.5.38), (8.5.39) (разрешить их относительно А.,,
со,) позволяет следующий простой алгоритм: вместо величин А,, и со,,
входящих в аргументы функций D и А в правых частях соотношений (8.5.38),
(8.5.39), надлежит последовательно подставлять соответствующие правые
части в низшем пордяке соотношений (8.5.38), (8.5.39). Так, в нулевом
приближении мы получаем
K = K-D(K, "и, е). (8.5.42)
Качественные макроскопические изменения
279
Для полноты заметим, что при А, = 0 может возникнуть постоянный контр
член d. В этом случае мы получаем уравнение
r] = d -Анг1 + е^(л, ср, е), (8.5.43)
где
Vo-b'rl^d. (8.5.44)
Заметим лишь, что d можно задать соотношением (8.5.44) вместо соотношения
(8.5.12).
Описав метод, позволяющий находить сдвинутую, т. е. перенормированную,
частоту (8.5.39) и перенормированную постоянную релаксации (8.5.38),
обратимся теперь к выяснению вида решений г| .и ф. Вместо уравнений
(8.5.34), (8.5.35) рассмотрим уравнения более общего вида, частным
случаем которых являются уравнения (8.5.34) и (8.5.35). Эти более общие
