Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Значения и, задаваемые квадратными корнями (8.2.15), и
ы = 0 (8.2.16)
позволяют разложить правую часть уравнения (8.2.12), имеющую вид
кубического многочлена, в произведение линейных множителей
и = -Р-м (и- у^/р) (и + У Я"/р). (8.2.17)
Вводя для краткости специальные обозначения корней
и0 = 0, щ = V"Vp, и2 = - УЛ?р, (8.2.18)
запишем уравнение (8.2.17) в более сжатом виде
и=-р (и-и0)(и - "О (м - м2), Uk = uk(a). (8.2.19)
Так как собственные значения Ки зависят от управляющего параметра, а
иногда даже могут быть отождествлены с ним, корни uk правой части
уравнения (8.2.12) также зависят от управляющего параметра а. Приведенные
выше соображения непосредственно обобщаются на случай, когда f (и) -
произвольный многочлен, т. е. когда
i = Kuu + f{u) = P(u). (8.2.20)
Уравнение (8.2.20) также удобно интерпретировать как движение частицы со
сверхкритическим затуханием в поле с потенциалом
268
Глава 8
V, производная от которого совпадает с правой частью уравнения
(8.2.20): дУ (8.2.21)
ди
По аналогии с (8.2.19), многочлен (8.2.20) можно разложить в произведение
линейных множителей
и = С[и-Ui(a)][u-u2 (°0) • • •["-"*(")], (8.2.22)
где ии - корни многочлена Р (и). Зная зависимость Uk от управляющего
параметра а, мы можем найти точки ветвления возможных стационарных
решений в зависимости от значений, принимаемых управляющим параметром а.
Следить за тем, как возникают, сливаются или исчезают ветви решений,-
занятие весьма увлекательное. Примеры того, как могут вести себя ветви
решений в зависимости от управляющего параметра, читатель найдет в
упражнениях.
Чтобы исследовать устойчивость ветвей решений, многочлен Р (и) можно
разложить в окрестности соответствующего корня и*. Для этого мы выбираем
достаточно малую окрестность корня щ, полагаем
" = щ. + 6и, (8.2.23)
линеаризуем уравнение (8.2.20) в выбранной нами окрестности и исследуем
интересующую нас ветвь на устойчивость с помощью линеаризованных
уравнений
ди = дР(и) I ди. ,8.2.24)
ди J
Уравнение (8.2.24) можно записать в общем виде
6и = у-6и; (8.2.25)
устойчивость или неустойчивость исследуемой ветви зависит от знака
коэффициента у, определяемого выражением
дР (и)
У = --
ди
0. (8.2.26)
Временная эволюция в нелинейной области также поддается анализу,
поскольку дифференциальное уравнение (8.2.20) допускает разделение
переменных, и мы получаем
Качественные макроскопические изменения
269
Разложение (8.2.22) многочлена Р (и) в произведение линейных множителей
позволяет разложить подынтегральное выражение
(8.2.27) в сумму элементарных дробей и вычислить интеграл в явном виде.
Упражнение. Вычислить интеграл в (8.2.27) для кубического многочлена
(8.2.19) и найти и (().
8.3. Кратное вещественное собственное значение становится положительным
Пусть М - число совпадающих собственных значений с наибольшей
вещественной частью, все эти собственные значения - вещественные числа
^1 = ^2= . . . =XM = Xu(a), (8.3.1)
равные нулю или положительные, а все остальные собственные значения имеют
отрицательные вещественные части. Обобщая случай, рассмотренный в
предыдущем разделе, обозначим амплитуды мод, соответствующих собственным
значениям (8.3.1), через
Mi, . • • , (8.3.2)
Разделяя общую систему уравнений (8.1.18) на амплитуды мод
(8.3.2) и остаточные члены и применяя принцип подчинения, получаем
уравнения для параметра порядка:
: ^"Mi /i (Mi, . , Мм" huy a),
(8.3.3)
UM -"Ь/м (Ul> • • • > UMi ^-u> a)>
или, в менее подробных обозначениях, не указывающих явную зависимость
многочленов Р (и) от а,
Ml = Pi (и, К (а)),
\ . (8.3.4)
"м=Рм(ч. М(r))) )
По существу, уравнения (8.3.4) ничем не отличаются от исходных уравнений
(8.1.1). Вместе с тем необходимо сделать два замечания. Во многих
практически важных случаях число переменных в приведенных уравнениях
гораздо меньше, чем в исходных уравнениях
(8.1.1). Особенно заметное понижение числа степеней свободы достигается
при переходе от уравнений (8.1.1) к уравнениям (8.3.3)
270
Глава 8
в случае сложных систем с большим числом степеней свободы. Кроме того, в
случае вырожденных собственных значений иногда удается использовать
свойства симметрии системы. Мы покажем, как можно решить систему
уравнений (8.3.3) в частном случае, когда существуют стационарные решения
й/ = 0: Р/(и, М")) = 0. (8.3.5)
Заметим, что уравнения (8.3.3) могут допускать помимо стационарных
решений (8.3.5) и другие, например колеблющиеся решения. К уравнениям
(8.3.3) мы еще вернемся, а пока сделаем несколько замечаний относительно
того случая, когда выполняется условие (8.3.5).
Уравнения (8.3.4) сильно упрощаются, если их правые части представимы в
виде градиента потенциала. Рассмотрением такого рода задач занимается
теория катастроф (см. [1, гл. 5]; дополнительная литература приведена в
конце нашей книги), и мы не будем останавливаться на ней более подробно.
Другой класс уравнений вида (8.3.4) образуют уравнения с
= + (8.3.6)
Многочлены (8.3.6) обращаются,в,нуль, если обращаются в нуль либо и/,
