Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
( дщ- t-dt
1 d2h
FUi, pFub, p\di +
' ' 2 dui.t-dtduk,t-di H'P Uk'p j
+ ---------------F m (t-dt) dwm (t-dt). (7.9.10)
дщ. t-dt
На следующем этапе выражение (7.9.10) аппроксимирует устойчивую моду в
уравнении для неустойчивой моды. Необходимо различать два случая.
а) s входит в
Qo(u, S, t)dt. (7.9.11)
Так как правая часть равенства (7.9.10) содержит члены порядка О (dt), О
(dw), мы получаем члены вида (dt)2 или dtdw, которыми можно пренебречь по
сравнению с dt.
б) s входит в
Fa,i(u(t), s (t), t)dWi(t), (7.9.12)
что приводит к появлению членов dtdw, стремящихся к нулю
бы-
стрее, чем dt, и членов
dwi(t)dwm(t-dt)^ 0. (7.9.13)
Приведенные выше соображения показывают, что
h(ut, ut_dt, . . . ) >- h (щ). (7.9.14)
Аналогичным образом мы можем действовать и дальше, что позво-
ляет заменить все ut-kdt, k =- 1, 2, . . . , на щ.
Рассмотрим теперь второй член в правой части (7.9.3): t x-dt
J- exp[As(^ - %)]d_h(ur, u%_v . . .) [ exp [As (t-x')]dg (%'),
CO ' -oo
(7.9.15)
258
Глава 7
Воспользуемся определением (7.9.4) оператора cL, которое позволяет
представить выражение (7.9.15) следующим образом:
t
^ехр[Лв(<-т)][А(ит, ит_Л, . . . )-h(uT_dt, ит_м,,. . ,)]х
т-dt
X J ехр [As (т-т')] dg (т'). (7.9.16)
-оо
Используя соотношение
dUi = Q0i(ut, ut-dt, . . ., t)dt + FU[ip(ut, ut-dt, . . . , t)dwp
(7.9.17)
и правило Ито, преобразуем выражение (7.9.16) к виду
t
J ехР [As (t-т)]
00
X [Qoi (ux-ndt.........x-ndt)dx +
+ FUT,p(Ux-ndt. • • • , r-ndt)dwp(x-ndi)] +
+ ±y ¦) P x
2 dUit x-ndfdU-k, i-ndt
n= 1
т-dt
xFu p(u,:_ndt, ¦ • -)dt\ J exp [As (т-t')] dg (t'). (7.9.18)
K -oo
При замене ux_ndx, n = 2, 3, ... в первом члене выражения (7.9.18) на uT-
dt мы получаем поправочные члены, которыми можно пренебречь, так как все
выражение необходимо еще умножить на dx. Это позволяет заменить функцию
h, зависящую от и при различных значениях временного параметра, новой
функцией, зависящей от и лишь при одном значении временного параметра,
равном т-dx. Если обозначить эту функцию через h ({и}), то первый член
выражения (7.9.18) примет вид
t Т
j ехр [A, (t-т)] dh№L Qi0 ({u}) dx J exp[As(T-T')]dg(T').
OO Utii -oo
(7.9.19)
Поскольку последняя сумма в фигурных скобках понадобится нам в таком же
виде, в каком она входит в (7.9.19), необходимо рассмотреть только второй
член, линейный по F.
?
Д=1
dh (uT-dt> Ut-2dt>
X
X-ndt
Нелинейные уравнения. Принцип подчинения
259
Итак, рассмотрим этот член:
t к
dh(ux_dT. Ux-2Л. • • •)
J exp[As(^-т)]^
dtti, x-ndt
n= 1
X
x FUfip(Ux-nd/, . . .)Ч(т_ш|,)х
X Texp [As (T-tO]dg (t'). (7.9.20)
CO
Наша цель состоит в том, чтобы заменить все и, входящие в h с различными
значениями временных аргументов, через и, зависящие только от одного
значения временного аргумента. Все и, стоящие перед ux-ndt, допускают
замену на и,_ЛЙ, а все и, стоящие после Щ-ndt - на uT_("+])di.
Аналогичным образом аргументы в F можно заменить на ux^.ndt. Все эти
подстановки приводят к появлению дополнительных членов высокого порядка,
и в пределе при dt -0 ими можно пренебречь. В результате подстановок
(7.9.20) преобразуется к виду
( ехр ГЛ5 (t-т)1 V Xjii К-(я+ и dt})
J l-i dttit x-ndt
- ОО n-1
X
т-dt
XF". p({ux_ndt})dwp(x-ndt) j exp [As(т-t') dg(т') + О(dx) + О (dw).
CO
(7.9.21)
Следующий этап состоит в замене аргумента ux_("_i) dt на uT_ ("+1 )dt-
Чтобы компенсировать эту подстановку, необходимо учесть члены, содержащие
dwp в момент времени т-ndx. Эти dwp, взятые вместе с dwp, входящими в
(7.9.20), порождают члены, пропорциональные dx. Если такие члены
встречаются под интегралом, то в ходе вычисления их необходимо
удерживать. При проведении вычислений выражение (7.9.20) можно
представить в виде
( ехрсм*-,)] f Г1"*-ц+.)"Ц
J 1-1 , x-ndt
ОО п= I
х Fu.,p{{ux_ndt})dwp (т~ndt) +
П-1
J- V д2МЦТ-#, Ut-2dt> • • . ) р U v
+ > д д "t'P (1^т-ndt!) ^
1-1 dtiit, x-mdt^^i, x-ndt
т= 1
]т-rff
.1 ехР [As (т-т')] dg (т'). (7.9.22>
-оо
X
260
Глава 7
Теперь мы уже в состоянии заменить аргументы функции h на один аргумент
ит_л. Второй член в (7.9.22) остается таким же, каким был, поэтому в
результате подстановки мы получаем
Соберем теперь все члены, входящие в (7.9.18). Такого рода преобразования
требуют изучения явного вида интеграла по dg (в действительности -
кратного интеграла по dw и функциям времени).
Поскольку анализ членов достаточно громоздок и не приводит к каким-либо
новым результатам, мы приведем лишь окончательную формулу, согласно
которой оператор d_, введенный с помощью соотношения (7.9.4), имеет вид
Далее мы можем действовать по аналогии с тем, как поступали в дискретном
случае, когда разработали метод последовательных приближений, в котором
требовалось собирать члены одного порядка величины, т. е. одной степени
по и. Введем для этого оператор
j exp[As (t-т)]|
dh({ Ux-dt)) дщ
X p ({ -dt)) dWp (t dt) -f-
-----00
k n-1
n= 1 m- 1
t-dt
X ({ut_md,})dT) I exp [As (x-x')] dg (x'). (7.9.23)
¦00
