Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
либо выражения, стоящие в квадратных скобках. Если в нуль обращаются и, с
индексами, например, k + 1, k + 2, . . . , то нам остается потребовать,
чтобы в нуль обращались только квадратные скобки в уравнениях с номерами
1, . . . , к, т. е.
Tja<imUiUm + К (а) = 0 (8.3.7)
при / = 1, . . . , k. Уравнения (8.3.7) описывают эллипсы, прямые или
гиперболы на плоскости или их аналоги - гиперповерхности в /г-мерном
пространстве. Возможные стационарные решения (8.3.5) не что иное, как
пересечения таких гиперповерхностей.
Продемонстрируем сказанное на простейшем примере - слу чае двух
переменных, в котором одно из уравнений (8.3.7) имеет вид
Mi U-2 = (а), (8.3.8)
а другое -
.. .Ул.."1- = Ма)" (8.3.9)
а2 Ь2
В зависимости от постоянных а и b число пересечений может быть
равно 0, 2 или 4. С увеличением %и (а) переменные их
и м2, если
пересечения возможны, возрастают. Каждое из пересечений соответствует
одному из вновь возникающих решений.
Упражнение. Докажите, что по крайней мере в общем случае для многочленов
(8.3.8) и (8.3.9) потенциал не существует.
Качественные макроскопические изменения
271
8.4. Простое комплексное собственное значение пересекает мнимую ось.
Бифуркация Хопфа
Начнем с системы дифференциальных уравнений (8.1.1). Предположим, что при
некотором значении управляющего параметра а - <х0 существует устойчивое,
не зависящее от времени решение q0. Будем считать, что это решение
допускает продолжение на значения управляющего параметра, отличные от а0.
Приступим к анализу устойчивости. Рассмотрим уравнение
w = Lw, (8.4.1)
совпадающее с уравнением (8.1.7). Подставляя, как обычно,
w = ewv (8.4.2)
в уравнение (8.4.1), приходим к задаче на собственные значения
Lv = Av. (8.4.3)
Предполагается, что собственное значение с наибольшей вещественной
частью, которое мы обозначим не вырождено и комплексно, т. е.
X1 = Xi + iX1, (8.4.4)
где
> 0. (8.4.5)
Как и в предыдущем разделе, введем обозначение
AU = V (8.4.6)
Пусть, кроме того, выполняются неравенства
Re{M<C0<0, У = 2,. . .. (8.4.7)
Это позволит нам воспользоваться при достаточно малых и (новое
обозначение для ?г) принципом подчинения.
Так как собственное значение (8.4.4) комплексно, весьма вероятно, что и
соответствующее ему решение и комплексно. Разлагая в ряд до членов 3-го
порядка по и, получаем уравнение параметра порядка для и:
и = иф- А*и ццП -р2^4ицц*ии ~\~ А.и\*и*и ~\~Виииц11 ф-
+ з В и иии*и2 ¦ и ф- 3 В и ии*и*ии2 ф- В и и*и>и*и3 + Остаточный член.
(8.4.8)
В дальнейшем мы сосредоточим свое внимание на важных частных случаях
уравнения (8.4.8), неоднократно встречающихся в приложениях.
272
Глава 8
Начнем с случая (А/, У - вещественные числа)
и = (Хи + iXu) и - Ьи | и |2, (8.4.9)
где коэффициент Ь предполагается вещественным и
Ь--Вииии>>°- (8.4.10)
Уравнение (8.4.9) легко решается, если положить
u(t) - r (t) ехр [1ф (t) + iXut], (8.4.11)
где г > 0, ф- вещественнозначная функция. Подставляя (8.4.11) в уравнение
(8.4.9), получаем
г + О'Ф + f = (^u + iK) г - br3, (8.4.12)
или, приравнивая отдельно вещественные и мнимые части,-
ф = 0, (8.4.13)
r = Xur-br3. (8.4.14)
Уравнение (8.4.14) совпадает с уравнением (8.2.12) Единственное отличие
состоит в том, что на г в (8.4.14) наложено дополнительное условие г > 0.
Таким образом, стационарные решения уравнения
(8.4.14) имеют следующий вид:
го = 0 при Ау<0, (8.4.15)
r0 = 0, r0= + V^ ПРИ (8.4.16)
Поскольку уравнение (8.4.13) выполняется как^при Ац-<0, так и при ки > 0,
переходное решение нетрудно найти, решая уравнение (8.4.14) [1].
Стационарное решение имеет вид
и = г0ехр (iфо + iXut)- (8.4.17)
Оно показывает, что (при г0> 0) система совершает гармонические
колебания. Начертив решение и на фазовой плоскости, образуемой его
вещественной и мнимой частями как прямоугольными координатами, мы
обнаружим предельный цикл. Переходное решение говорит нам о том, что
траектории, проходящие через любые точки плоскости, стремятся к этому
предельному циклу, навиваясь на него либо изнутри, либо снаружи.
Интересная модификация уравнения (8.4.9) возникает в том случае, если
коэффициент b комплексный, т. е.
b = brjrib", (8.4.18)
где Ь' и Ь" - вещественные числа. Пусть
Ь'> 0 (8.4.19)
Качественные макроскопические изменения
273
и интересующее нас уравнение имеет вид
u = (XuJriXll)u- (b -\-ib)u\uf. (8.4.20)
Будем искать его решение в виде
u = r(t)eiv(t), г> 0, Ф - вещественнозначная функция.
(8.421)
Подставляя (8.4.21) в уравнение (8.4.20) и разделяя вещественную и мнимую
части, получаем:
r = Xur-b'r3, (8.4.22)
ф = Xu - b"r2. (8.4.23)
Это система двух связанных дифференциальных уравнений, но связь между
ними весьма простого типа. Мы можем сначала решить уравнение (8.4.22) и
найти стационарное или переходное решение г (t). Затем мы подставляем
найденное решение г2 в уравнение (8.4.23) и находим ф (t). Рассмотрение
случая, когда г (t) - переходное решение, мы оставляем читателю в
качестве самостоятельного упражнения. Если же г (t) = г0 - стационарное
