Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
имеющих такой же вид, как и уравнения, возникающие в случае бифуркации
Хопфа. Из приведенного анализа ясно, что и в этом случае бифуркация из
предельного цикла в тор, как правило, существует.
Существенно более сложный случай возникает при рассмотрении уравнения для
параметра порядка и вида
м=(7и + гм 2) и - bu\uf + g(u, и , фх) (8.8.48) и уравнения для фазового
угла ф = фх
Фг = (r)1 + /(", и, фх), (8.8.49)
где g и /у - функции, 2л-периодические по фх. Полагая
u = r(t)eUf2{t), (8.8.50)
преобразуем уравнения (8.8.48), (8.8.49) в систему уравнений
г = X'ur-br3+g(r, фь ф2), (8.8.51)
ф2 = (r)2+/2(г, фь ф2), (8.8.52)
к которой необходимо присовокупить уравнение
ф! = (о1+/1(г, фь ф2), (8.8.53)
которое следует из уравнения (8.8.49). Здесь /у (так же, как g и fa) -
функции, 2л-периодические функции по фх, ф2. Анализ ре-
Качественные макроскопические изменения
295
шений уравнений (8.8.51) - (8.8.53) требует привлечения довольно тонких
соображений (по крайней мере в общем случае), так как разложение функций
g, и /2 в ряд по теории возмущений имеет смысл только в
предположении, что частоты со!, со2 удовлетворяют
условию КАМ. Поскольку вся теория оказывается частным слу-
чаем теории бифуркации из тора в другие торы, мы отложим ее рассмотрение
до конца разд. 8.10.2.
8.9. Бифуркация из тора (квазипериодическое движение)
Как и в предыдущих главах, начнем с уравнения
q(0 = N(q(0, а), (8.9.1)
записанного в уже известных обозначениях. Предположим, что при
управляющем параметре а, принимающем значения из некоторого интервала,
уравнение (8.9.1) допускает квазипериодические решения q0, представимые в
виде
ЧоК, a) = Xcmeim ¦"*, (8.9.2)
rn
где
т-(о = т1оз1 + т2т2+ ¦ • . +тм(рм, (8.9.3)
и коэффициентами m могут быть любые целые числа. В разд. 1.12
и 8.8. было показано, что движение такого рода наглядно можно
представить как движение по тору. В дальнейшем мы будем предполагать, что
траектории всюду плотно лежат на торе. Тор можно параметризовать с
помощью фазовых углов Ф/ (/ = I, , М). В таких координатах вектор г,
конец которого лежит на торе, можно представить в виде
г(Фь Ф2, .... Фм). (8.9.4)
Поскольку траектории лежат на торе всюду плотно х), мы можем выбрать в
качестве начального условия
q0 (0, а)=г. (8.9.5)
9 Сформулируем наше утверждение более точно. Мы предполагаем что если
(8.9.2) удовлетворяет уравнению (8.9.1), то
q0 К, а, Ф) = X cm ехр [im • ("Ц -f- Ф)], (8.9.6)
Ш
также удовлетворяет уравнению (8.9.1), причем q0 принадлежит классу Ck (k
> 1) по ф, а индекс k будет определен в дальнейшем. Иногда мы будем
требовать, чтобы решение q0 (t, а, Ф) было аналитическим по Ф в некоторой
области.
296
Глава 8
Это позволит нам построить решения (8.9.2), удовлетворяющие начальному
условию (8.9.5), в виде
qо (/, а, Ф) = Y, с(tm) ехР iim ¦ (ю/ + Ф)]> (8.9.6)
где
Ф = ((О1Ф1, (о2Ф2, . . . , ю^Фм), (8.9.7)
Ф = (ФЬ Ф2, . . . , Фм). (8.9.8)
Первые этапы последующей процедуры хорошо известны из пре-
дыдущих глав. Будем считать, что и при дальнейшем увеличении управляющего
параметра а, в частности, когда а оказывается в области, где старый тор
теряет устойчивость по линейному приближению, решение представимо в виде
(8.9.6).
Итак, исследуем устойчивость по линейному приближению. Для этого
рассмотрим уравнение
\v(t) = L(t)w(t), (8.9.9)
где элементы матрицы
L = (L jk) (8.9.10)
определяются соотношением
L
ik;
dNj (q, ") dqk
Чо = Чо (6 "> Ф)
(8.9.11)
Так как решение q0 представимо в виде ряда Фурье (8.9.6), элементы
матрицы L также представимы в виде ряда Фурье
Ljk = Ljk (t, а, Ф) = ? Ljk- m ехр fim- (w^ + Ф)]|. (8.9.12)
m
Условимся в дальнейшем отбрасывать параметр а. Ясно, что матричный
элемент Ljk, задаваемый рядом Фурье,- квазипериодическая функция.
Обратимся к результатам, полученным в гл. 3 (в особенности в разд. 3.7).
Мы исследовали там общий вид решения уравнения (8.9.9) с
квазипернодическими коэффициентами и показали, что при некоторых условиях
на обобщенные характеристические показатели и при других, более
специальных, ограничениях решение уравнения (8.9.9) представимо в виде
w k(t) = e^vk(t). (8.9.13)
В частности, такой вид решение имеет, если характеристические (или
обобщенные характеристические) показатели различны, если матрица L
достаточное число раз дифференцируема по Ф/ (j - 1, 2, . . . , М) и если
частоты е> удовлетворяют условию КАМ. В этом случае v*. -
квазипериодические функции времени, зависимость которых от Ф и Ф
определяется рядом Фурье в правой части (8.9.6).
Качественные макроскопические изменения
297
Нам понадобится вариант теоремы, несколько отличный от приведенного выше:
не вырождены все собственные значения Я*, кроме нулевого. Построим
векторы v*, отвечающие Я* = 0. Продифференцируем для этого обе части
тождества
qo = N(qo, ") (8.9.14)
до Фг. Определение (8.9.11) матричных элементов Ьц позволяет записать
полученное соотношение в виде
(dq0W);) = L (dqo/дФ;). (8.9.15)
dt
Из него следует, что
