Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
В этом случае интеграл расходится при конечном ? (иначе говоря, при этом
значении ? временной параметр t обращается в бесконечность). Если
исключить переходные режимы, то решение дифференциального уравнения
(8.6.13) имеет вид
? = arcsin (Й/а) = const, (8.6.22)
откуда с учетом соотношений (8.6.11) и (8.6.4) следует, что
ф2-сра= (со2 - сй])/ + ф2-фа = const. (8.6.23)
Соотношение (8.6.23) может выполняться только в том случае, если
перенормированные частоты со/ совпадают:
со2 = СО], (8.6.24)
т. е. если частоты становятся равными по величине, или, как принято
говорить, если происходит затягивание частот. Аналогичным образом ведут
себя и фазы ф2 и фа (затягивание фаз обусловлено соотношением (8.6.22)).
Следует заметить, что затягивание частот присуще гораздо более общим
классам уравнений, весьма простым частным случаем которых являются
уравнения (8.6.1), (8.6.2).
Упражнение. Рассмотрите три связанных осциллятора и пока жите, что если
"разность разностей" частот
(со2- (Ох) - (со3-со2) (8.6.25)
достаточно мала, то может происходить затягивание разностей ча
СТОТ (Й2-СО] И СОз-(02.
Качественные макроскопические изменения
283
В качестве примера рассмотрите уравнения
Ui = (Я iо)х) Hi - Ь\Их I Их j СхИ \Из,
И% = (А -\-Ui I Н% | C2U2UiU3,
(8.6.26)
"з = (X +1 "з) и3-Ь3и31 и312 + с3и|щ.
Указание: запишите решения в виде (8.6.3), (8.6.4) и введите новую
переменную
ф1 + фз-2qpa = 4f. (8.6.27)
Составьте соответствующую линейную комбинацию уравнения для Ф/, которая
даст уравнение для переменной (8.6.27).
8.7. Бифуркация из предельного цикла
В предыдущей главе мы узнали, что при изменении управляющего параметра
система, которая первоначально покоилась, может начать совершать
когерентные колебания, т. е. перейти в режим, в котором траектория
системы в соответствующем многомерном пространстве лежит на предельном
цикле. При дальнейшем изменении внешнего управляющего параметра движение
по предельному циклу может потерять устойчивость. Мы хотим сейчас
исследовать некоторые из новых типов режимов, возникающих при потере
устойчивости движения по предельному циклу.
Произведем сначала общий анализ с тем, чтобы отделить параметры порядка
от амплитуд подчиненных мод, и определим число типичных уравнений для
параметров порядка. Мы ограничимся рассмотрением автономных систем,
описываемых нелинейными эволюционными уравнениями вида
q = N(q, а), (8.7.1)
где q (t) - вообще говоря, многомерный вектор состояния системы.
Предположим, что при значениях управляющего параметра, принадлежащих
некоторому интервалу мы нашли решение
qo(^, а), (8.7.2)
соответствующее движению по предельному циклу. Заметим, что вдали от
решения (8.7.2) при том же значении управляющего параметра могут
существовать другие решения, но мы их рассматривать не будем.
Изменим значение управляющего параметра а и предположим, что решение q0
допускает продолжение в новую область значений а. Поскольку решение q0
должно быть периодично, потребуем, чтобы выполнялось соотношение
q0(^ + 7\ а) = Яо(^, а),
(8.7.3)
284
Глава 8
в котором Т может зависеть от а:
Т = Т (а). (8.7.4)
Исследуем решение (8.7.2) на устойчивость. Для этого мы, как обычно,
воспользуемся подстановкой
q(0 = 4o(0 + w(0, (8-7.5)
и получим из уравнения (8.7.1) новое уравнение
Чо (0 + w (0 = N (q0 (0 + w (0). (8.7.6)
Если возмущение w (t) достаточно мало, то уравнение (8.7.6) можно
линеаризовать по w. В результате линеаризации мы придем к
урав-
нению
где
матрица с элементами
Li! =
v/(t) = Lv/(i), (8.7.7)
L = {Lij) (8.7.8)
(8.7.9)
q=Qo (О
dNj (q, a)
dq;
Так как N содержит в качестве аргумента периодическую функцию q0 и
зависит от управляющего параметра а, матрица L зависит от времени t и
управляющего параметра а:
L = L(t, а). (8.7.10)
Кроме того, L обладает такой же периодичностью по t, как и q0:
L(t + T, a) = L(t, а). (8.7.11)
Из разд. 2.7 известно, что решения уравнения (8.7.7) можно пред-
ставить в виде
w k(t) = e^vk(t). (8.7.12)
Если значение не вырождено, то вектор v* периодичен с периодом Т. В
противном случае vk можно представить в виде многочлена по / с
периодическими коэффициентами. Во избежание излишних подробностей мы
будем предполагать, что все векторы V* периодичны по времени, хотя
излагаемая ниже схема без труда обобщается. Поскольку q0 удовлетворяет
уравнению (8.7.1), воспользуемся соотношением
q0=N(q0) (8.7.13)
и, продифференцировав обе части его по времени, получаем
Чо = Lq0. (8.7.14)
Качественные макроскопические изменения
285
Сравнивая уравнения (8.7.14) е уравнением (8.7.7), мы видим, что одно из
решений уравнения (8.7.7) совпадает с q0:
wi -Чо (0 ->^i=0. (8.7.15)
Ясно, что вектор wx при любом t направлен по касательной к траектории в
точке q0 (t). Так как линейная оболочка решений уравнения (8.7.7)
совпадает со всем векторным пространством, мы заключаем, что при любом t
вектор, касательный к траектории, и n- 1 линейно независимых векторов,
трансверсальных к траектории, образуют базис всего векторного
